Le dé non cylindrique à sept faces de GameScience est-il un dé équilibré/équitable ?

Question

Vous avez peut-être déjà rencontré Le dé à sept faces de GameScience avant :

Les avis sont partagés quant à la possibilité qu'il soit biaisé en faveur des faces 6 et 7 (le 6 étant du côté opposé au 7 que vous pouvez voir sur la photo). C'est un dé de GameScience, et ils ont tendance à se vanter de faire des dés correctement équitables.

La seule analyse réelle que j'ai trouvée est une vidéo sur YouTube, "Est-ce qu'un D7 (dé à sept faces) roule équitablement ?" posté par KingKool2099 le 24 avril 2012. A 4 minutes 20 secondes ils qualifient leurs propres résultats de non concluants, ce qui suggère qu'ils pourraient introduire un biais dans leur méthode de roulement. (Ils ont trouvé un biais vers les 6 et 7, mais aussi vers le 2 qui est sur un bord).

Y a-t-il eu une analyse décente et concluante pour savoir si ce dé est un dé équitable ? Y a-t-il eu une analyse mathématique, où quelqu'un l'a fait passer dans une tour à dés ?

Answer 1

L'expérience réelle est difficile

Les dés liés dans la question sont en rupture de stock, donc seules les personnes qui ont déjà beaucoup de ces dés et qui sont prêtes à faire les tests statistiques peuvent donner la "vraie" réponse. Je soupçonne que cette population est assez restreinte. Cependant, je pense que la littérature existante et un peu de déduction peuvent donner une perspective théorique et historique sur l'équité de ce d7.

Il est possible d'avoir un d7 juste dans certains scénarios.

Premièrement, il est tout à fait possible, en théorie, d'avoir un dé à sept faces. Le dé illustré est un prisme pentagonal. Géométriquement, l'équité du dé est plus fortement affectée par le rapport de taille entre les faces pentagonales et les côtés rectangulaires. J'ai fait une maquette rapide des deux extrêmes :

• Les faces sont plus grandes que les côtés : Cela correspond à la forme du côté gauche. Cet extrême favorise fortement les faces pentagonales - il s'agit essentiellement d'une pièce de monnaie, et il est difficile d'imaginer qu'elle puisse atterrir sur les bords.

• Les côtés sont plus grands que les faces : Cela correspond à la forme sur la droite. Dans ce cas, le dé ressemble plus à un crayon, et tombera presque toujours sur les côtés.

Au fur et à mesure que l'on ajuste le rapport de taille entre les côtés et les faces, il y aura un point spécifique où il y aura une transition entre favoriser les côtés et favoriser les faces. Cet intercept est le point auquel le dé est équitable. Il est donc possible d'avoir un dé à 7 faces équitable.

Toutefois, ce rapport magique peut ne pas être le même pour toutes les conditions. Cette réponse sur MathOverflow soutient que pour un dé non isohédral, l'équité du résultat dépend de la façon dont on le lance. De même, cette page aléatoire sur l'internet prétend que des surfaces différentes pourraient affecter le résultat du rouleau. Aucune des deux sources ne fournit de preuves tangibles de leurs affirmations, mais il est intéressant de considérer que l'argument de la valeur intermédiaire présenté ci-dessus ne prouve pas qu'un simple d7 peut être équitable sous tous conditions .

Le brevet pour este d7 montre qu'il a été testé pour l'équité

La question est donc de savoir si ces dés spécifiques ont la géométrie nécessaire pour être équitables. La page de description du produit à laquelle le PO renvoie contient un numéro de brevet : US PAT No. D-4,900,034. Ce numéro correspond au brevet "Pièces de jeu de hasard et disposition et table de jeu à utiliser avec ces pièces". déposé par Bernard Bereuter en 1988. Ce brevet décrit, entre autres, la construction et l'équité de ce particulier d7 pour les jeux d'argent :

En utilisant des pièces de jeu formées de plastique dur d'un type tel que celui utilisé pour les dés standard, l'expérimentation a montré que l'atterrissage aléatoire désiré des pièces est obtenu si le pentagone régulier de section transversale s'inscrit précisément dans un cercle de 1 pouce de diamètre (ce qui donne des bords périphériques 3 d'une longueur de 0,588 pouce) et la longueur du prisme est de 0,753 pouce, pour des pièces roulées sur un feutre à dos de mousse tendu sur une surface horizontale dure.

...

Pièce de jeu aléatoire comprenant un prisme non rectangulaire... ayant des indices espacés uniformément autour de sa circonférence, la longueur dudit prisme étant différente de la longueur d'un côté de la section transversale du polygone régulier et étant égale à la longueur requise pour que la probabilité que ledit prisme atterrisse sur l'une de ses faces d'extrémité soit approximativement égale à la probabilité qu'il atterrisse sur l'une de ses faces latérales.

Ainsi, M. Bereuter a apparemment effectué les tests empiriques nécessaires pour déterminer le rapport de taille idéal pour un dé à sept faces équitable, au moins sur une surface particulière.

Malheureusement, comme ses données ne sont pas publiques et que les dés ne sont pas disponibles actuellement, nous ne pouvons pas vérifier ou répéter ses résultats nous-mêmes. Il est certainement possible que les dés achetés sur ce site ne soient pas équitables pour d'autres raisons. Néanmoins, l'inventeur de ce d7 a clairement fait des efforts considérables pour déterminer les dimensions nécessaires pour créer un dé équitable.

Si GameScience a suivi avec précision les dimensions du brevet qu'il cite, alors son d7 est probablement suffisant pour les jeux de rôles. Après tout, le brevet original prévoyait que le dé soit utilisé pour les jeux de hasard, et d'après mon expérience, les jeux de rôles sont beaucoup moins sensibles aux dés injustes que les jeux de hasard.

Answer 2

Non, ils ne sont pas justes, sauf si vous ignorez les côtés.

Il y a quelques exigences pour qu'une filière solide uniforme soit juste.

Les côtés actifs doivent être transitifs.

Les dés ne sont équitables que si toutes les faces utilisées ont les mêmes chances d'être touchées. Pour que cela soit vrai, il faut que le dé soit transitif, c'est-à-dire que toutes ses faces aient la même forme. Plus précisément...

Figure isohédrale

En géométrie, un polytope de dimension 3 (un polyèdre) ou plus est isoédrique ou à faces transitives lorsque toutes ses faces sont identiques. Plus précisément, toutes les faces ne doivent pas être simplement congruentes mais doivent être transitives, c'est-à-dire qu'elles doivent se trouver dans la même orbite de symétrie. En d'autres termes, pour n'importe quelles faces A et B, il doit exister une symétrie de l'ensemble du solide par rotations et réflexions qui fait correspondre A à B. Pour cette raison, les polyèdres isoédriques convexes sont les formes qui font des dés justes.

Figure isotoxale

Les polyèdres réguliers sont isoédriques (transitifs sur les faces), isogonaux (transitifs sur les sommets) et isotoxaux (transitifs sur les bords).

Ce dé à 7 faces n'est ni l'un ni l'autre. Mais il l'est si on ignore tous les résultats sur les côtés pentagonaux.

En d'autres termes, étant donné une face du dé, il doit exister une rotation (au moins une) qui fait que toutes les autres faces, arêtes et sommets sont représentés au même endroit que des faces, arêtes et sommets différents, respectivement. Essayons en 2-d.

Cela donne un bon dé à 2 dimensions. En faisant tourner le triangle de 120 degrés autour du centre, chaque sommet et chaque bord du triangle est remplacé par un autre. Transposons ça en 3 dimensions, disons un cube. Un d6. Nous sommes tous familiers. Un d6 est un dé juste parce qu'il existe au moins une rotation qui fait que chaque face, chaque arête et chaque sommet se retrouve à l'emplacement d'un autre. L'une de ces rotations serait évidemment une rotation qui peut être représentée par "90 degrés sur un axe, et 90 degrés sur un autre". Ou, en Angles d'Euler 90, 90, 0. Ou, si cela peut aider, 90 degrés de tangage et 90 degrés de lacet. Ou toute combinaison de tangage, lacet et roulis.

Tous les autres dés équitables ont cette propriété. Il existe une rotation qui fait correspondre chaque face, bord et sommet d'un d4 à une face, un bord et un sommet différents. Il en existe une pour un d20. En fait, il existe de nombreuses rotations qui font cela pour ces dés équitables. Mais il n'y a pas de rotation qui le fasse pour un d7. Vous pourriez le faire tourner de 180 degrés autour de l'axe "haut" (en ne le posant ni sur 6 ni sur 7), mais alors le bord supérieur n'aurait pas été déplacé vers la position d'un autre bord. Vous pourriez le poser à plat sur 6 et le faire tourner de 72 degrés, mais les faces pentagonales n'auraient pas été déplacées vers une autre face.

Le centre de chaque face doit être équidistant du centre de masse.

Lorsqu'il s'agit de dés (équitables), le centre de masse se trouve au centre exact de l'objet. Cela signifie que toutes les faces sont équidistantes de ce centre. Il en résulte qu'après un lancer, chaque face a la même chance de sortir. Cependant, si le centre de masse est déplacé du centre géographique du dé, l'axe de rotation est modifié et le dé n'est plus équitable. source

La modification du centre de masse est connue sous le nom de pondération de la matrice. Lorsque le centre de gravité est éloigné du milieu du dé, la face la plus légère roule plus souvent vers le haut.

Faire des dés équitables en ignorant les faces

Les dés ayant un nombre impair de faces planes peuvent être fabriqués sous la forme de "dés longs"[26]. Ils sont basés sur un ensemble infini de prismes. Toutes les faces (rectangulaires) sur lesquelles ils peuvent effectivement atterrir sont congruentes, ils sont donc également équitables. (Les deux autres faces du prisme sont arrondies ou coiffées d'une pyramide, de sorte que le dé ne repose jamais sur ces faces). Source :

Cette dernière phrase est la partie la plus importante. Ce dé à 7 faces est équitable pour les gammes 1 à 5, à condition d'ignorer la 6ème et la 7ème face. Comme nous l'avons lu plus haut, n'importe quel prisme peut être juste à condition que les extrémités soient "coiffées" ou ignorées ( voir Long Dice ). Ainsi, un vrai d7 serait composé d'un prisme heptagonal . Ainsi, en ignorant les extrémités, il existe une rotation qui fait correspondre chaque face, sommet et bord à l'emplacement d'une face, d'un bord et d'un sommet différents. Reprenons l'exemple ci-dessus. Nous le posons à plat sur le 6ème bord et le faisons tourner de 72 degrés. Voilà ! Chacune des faces se trouve maintenant à l'endroit où se trouvait une face, chaque arête se trouve à l'endroit où se trouvait une arête différente, et chaque sommet se trouve à l'endroit où se trouvait un sommet différent. Sauf pour les capuchons, que nous avons ignorés.

Plus récemment, vous avez peut-être remarqué des dés de barils. Ils utilisent le même principe de base, sauf que leurs côtés sont des triangles plutôt que des rectangles.

Pourquoi les formes non symétriques et non orthodoxes ne fonctionnent-elles pas ?

Le résultat de la transitivité des faces du dé et de son centre de masse équidistant des centres des faces est qu'il faut la même quantité de force dans une direction pour le retourner, quelle que soit la face sur laquelle il a atterri. Lorsque nous regardons le d7, nous pouvons facilement deviner que l'application d'une force pour passer de la face 1 à la face 2 est la même quantité de force qui le fera passer de la face 2 à la face 3 lorsqu'il repose sur la table. Cela est dû au fait que les angles entre les faces sont les mêmes, et que les faces sont les mêmes sur ces côtés. Il y a autant de surface qui touche la table quand la face 1 est en haut que quand la face 2 est en haut. Considérons les faces 6 et 7.

Quand la face 6 est en haut, la face 7 est en bas. Il y a maintenant une plus grande surface sur la table. De plus, l'angle entre la face 6 et toute autre face la touchant est plus grand (90 degrés contre 72 degrés). Ces deux éléments signifient qu'il faut plus de force pour pousser le dé sur l'une des autres faces. Ainsi, lorsque le dé tombe et que la face 6 ou 7 touche la table vers la fin de la chute et perd un peu de sa vitesse et de sa vitesse de rotation, il est plus probable qu'une force de X soit nécessaire pour la pousser sur une autre face. no le dé tombera sur cette face pour atterrir sur 1-5.