Quelles sont les chances de rouler haut tout le temps ?

Question

Donc, j'ai le sentiment qu'un joueur dans un jeu en ligne est... créatif dans la façon dont il appelle ses jets de dés. J'ai joué avec eux dans plusieurs parties, et dans deux d'entre elles, j'ai convaincu le DM d'imposer le jet en ligne, mais dans la troisième partie, il est peu probable que cela se produise.

Aujourd'hui, j'ai noté tous leurs jets de dés D20 :

18, 13, 20, 8, 15, 11, 19, 7, 2, 15, 20, 8, 17, 18, 17, 11, 16

Donc sur 17 rouleaux :

1. 10 avaient 15 ans ou plus

2. Seuls 4 d'entre eux étaient inférieurs à 10 (pour aggraver la situation, tous les résultats faibles se trouvaient dans des situations où le joueur savait qu'un résultat faible ferait l'affaire, comme frapper un zombie avec un bonus de +11, et les résultats plus élevés sur des contrôles auxquels ils tenaient et dont le DC était incertain, un schéma courant).

Quelles sont les chances que cela se produise ?

Note : Je ne suis pas intéressé par les moyens de tenter d'arrêter ce que je pense être de la triche. A un moment donné, je parlerai simplement au DM en question, mais cette distribution particulière semble encore pire que ce à quoi je m'attendais.

Answer 1

Seuls 4 étaient en dessous de 10 : légèrement moins probable que ce que l'on pourrait attendre

Neil Slater a une excellente réponse, notamment en soulignant les dangers de former une hypothèse après coup. Je voulais juste développer le point n°2 :

Seuls 4 étaient en dessous de 10

Une approche séduisante

Nous pouvons être tentés de nous dire : Nous savons que 10 des 17 dés ont obtenu 15+. Il reste donc 7 dés. Chacun de ces dés a 9/20 chances d'obtenir un résultat inférieur à 10. Faites un peu théorème du binôme et nous avons 84,7 % de chances qu'au plus 4 de ces dés aient une valeur inférieure à 10.

Le problème

Le problème de cette approche est que, à condition qu'au moins 10 des 17 dés donnent 15+, les 7 autres dés ne peuvent plus être considérés comme uniformes et indépendants. Le cas le plus probable est que exactement 10 sur 17 ont obtenu 15+, auquel cas aucun des dés restants ont obtenu 15+, ce qui réduit effectivement le d20 à un d14 pour ces dés restants. Soudain, obtenir un 9- semble plus probable.

Au total, si mon calcul est correct, la probabilité que 4 dés ou moins donnent 9-, conditionnée par 10 dés ou plus donnant 15+, est de 54,9%.

Cela fait-il une différence pratique par rapport à 85% ? IMO 85% vs. 55%--- ou même 100% vs. 55%--ne font pas une différence appréciable dans la force de l'accusation ; je suis tout à fait d'accord avec Neil Slater que ces chiffres ne sont pas suffisants pour soutenir une accusation.

Code

Voici un Bloc-notes JupyterLite qui utilise mon Bibliothèque Python hdroller .

import hdroller

# Dimension 0 is the number of dice that scored 15+.
# Dimension 1 is the number that scored 9-.
die = hdroller.d20.sub(lambda x: (x >= 15, x < 10))

# Roll 17 of them and sum.
seventeen_rolls = 17 @ die
print('Chance of rolling 15+ on at least 10 out of 17 dice:')
print(seventeen_rolls.dim[0] >= 10)

# Filter out everything that didn't fit the above condition.
seventeen_rolls_cond = seventeen_rolls.reroll(lambda a, b: a < 10, max_depth=None)
print('Chance of rolling 9- on at most 4 dice, conditional on the above:')
print(seventeen_rolls_cond.dim[1] <= 4)

print('For comparison: if the remaining 7 dice were uniform and independent d20s:')
print(7 @ (hdroller.d20 < 10) <= 4)
print('For comparison: if the remaining 7 dice were uniform and independent d14s:')
print(7 @ (hdroller.d14 < 10) <= 4)

Chance d'obtenir 15+ sur au moins 10 des 17 dés :

Dénominateur : 13107200000000000000000

Résultat

Poids

Probabilité

Faux

12940833918520166973440

98.730728%

Véritable

166366081479833026560

1.269272%

Chance d'obtenir un 9- sur au plus 4 dés, sous réserve de ce qui précède :

Dénominateur : 166366081479833026560

Résultat

Poids

Probabilité

Faux

75088211144104304640

45.134327%

Véritable

91277870335728721920

54.865673%

Pour comparaison : si les 7 autres dés étaient des d20 uniformes et indépendants :

Dénominateur : 1280000000

Résultat

Poids

Probabilité

Faux

195747435

15.292768%

Véritable

1084252565

84.707232%

Pour comparaison : si les 7 autres dés étaient des d14 uniformes et indépendants :

Dénominateur : 105413504

Résultat

Poids

Probabilité

Faux

54384129

51.591235%

Véritable

51029375

48.408765%

Answer 2

Un simple test de chi^2 pour une confiance de 95% donne la comparaison entre les nombres 30.1435272 (qui est le 0.95 pour le chi^2 avec 19 d.o.f.) et 14.55 (qui est la somme de quelques nombres - longue histoire). Comme le second est plus petit, nous en concluons que ces données sont insuffisantes pour conclure avec une confiance de 95%, que le dé n'est PAS honnête.