La probabilité de lancer un 1 dans un ensemble de d10 augmente-t-elle avec le nombre de dés ?

Question

Juste une question sur les probabilités.

Si je lance un d10, il y a 10 % de chances de tomber sur un 1. En supposant que le fait de recevoir n'importe quel 1 parmi les résultats d'un ensemble de dés constitue un échec, quelles sont les chances de tomber sur un 1 à mesure que le nombre de d10 augmente ?

Mon instinct me dit que la probabilité qu'il y ait des 1 parmi les résultats augmente avec le nombre de dés dans la réserve. Cependant, je ne suis pas certain que cela soit correct, ni comment déterminer la probabilité pour des pools avec un plus grand nombre de d10.

Merci.

Answer 1

Oui, c'est vrai.

Votre instinct a raison. Plus il y a de dés, plus vous avez de chances de lancer un peu de 1s.

Si je vous lis bien, vous êtes juste intéressé à savoir si tout Des 1 apparaissent dans votre pool de jet. Cela peut ne pas sembler évident, mais la façon la plus simple d'y penser est de modéliser la probabilité d'obtenir tous les 2 à 10. C'est-à-dire

$$P( \text {non }1)= \frac 9 {10} = 0.9$$

Ensuite, pour n dés, nous avons la probabilité de n "pas 1" est égale à la probabilité de chaque événement indépendant multipliée :

\begin {align*} P(n \text { pas } 1) &= \underbrace {P( \text {non }1) \times P( \text {non }1) \times \dots\times P( \text {non }1)}_{n \text {fois}} \\ &= \left [P( \text {non }1) \right ]^n \\ &= 0.9^n \end {align*}

La probabilité, donc, de un peu de le dé/dés étant un 1 est le complément de tous les n d10 no étant un 1 :

$$P( \text 1 \text { in } n \text {d}10) = 1-P(n \text {non }1) = 1-0.9^n$$

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Voici le visuel :

Et la tabulation :

\begin {array}{cc|cc} n & P( \text {certains }1 \text { dans }n \text {d}10) & n & P( \text {certains }1 \text { dans }n \text {d}10) \\ \hline 0&00.00\%&10&65.13\% \\ 1&10.00\%&11&68.62\% \\ 2&19.00\%&12&71.76\% \\ 3&27.10\%&13&74.58\% \\ 4&34.39\%&14&77.12\% \\ 5&40.95\%&15&79.41\% \\ 6&46.86\%&16&81.47\% \\ 7&52.17\%&17&83.32\% \\ 8&56.95\%&18&84.99\% \\ 9&61.26\%&19&86.49\% \\ &&20&87.84\% \\ \end {array}

Answer 2

Pensez-y : si vous lancez un dé, il y a 10 % de chances que ce soit un 1. Si vous lancez deux dés, c'est comme si vous aviez d'abord lancé l'un d'eux (puisque les deux lancers sont indépendants l'un de l'autre), puis l'autre. Supposons que vous fassiez l'expérience 100 fois (et que vous assimiliez les occurrences à des pourcentages).

Avec un seul dé, 10 fois vous perdez, 90 fois vous gagnez.

Avec deux dés, 10 fois vous perdez avec le premier dé, 90 fois vous gagnez avec lui. Maintenant, nous ne nous soucions pas du deuxième lancer des 10 fois perdantes, vous perdez de toute façon. Sur les 90 fois où vous avez gagné avec le premier, vous devez encore lancer un deuxième dé, dont 10% (9) seront des 1 et 90% (81) des non 1. Au total, vous perdez 19 fois et vous gagnez 81 fois (contre 10/90 pour un seul dé).

Lancer plus de dés signifie toujours plus de chances de perdre, car tous les dés, sauf un, peuvent être des non-nuls (vous auriez donc gagné avec un dé de moins), et pourtant le dernier sort 1.

Answer 3

Oui, les chances d'obtenir au moins un résultat augmentent avec le nombre de dés.

Je ne connais pas la fonction réelle permettant de déterminer comment ces chances augmentent, mais à titre d'exemple, voici un graphique Anydice montrant une probabilité de 65,13% d'obtenir au moins un 1 sur 10d10 : http://anydice.com/program/8b09 et seulement 27,10% de chance d'obtenir au moins un 1 sur 3d10 : http://anydice.com/program/8b0a

Answer 4

Élaboration d'une réponse/exemple pour le profane.

Pour simplifier encore, je vais utiliser l'exemple d'un tirage à pile ou face pour mettre en évidence les résultats.

Avec une seule pièce, vous avez 50% de chances de tomber sur "face".

Avec une deuxième pièce (ou en jouant une deuxième fois à pile ou face), vous avez maintenant une chance distincte et indépendante de 50 % pour chaque pile ou face.

Avec deux lancers de pièce, vous avez maintenant quatre résultats possibles, comme le montre ce graphique :

Chaque résultat a 25 % de chances de se produire, mais 3 des résultats comprennent au moins un seul résultat "face". Pour obtenir la probabilité d'obtenir au moins un "face", il suffit d'additionner la probabilité de chaque résultat comprenant un "face". Dans ce cas, votre probabilité d'obtenir au moins un "face" est de 75 %.

Si vous ajoutez une troisième pièce (ou si vous tirez à pile ou face la même pièce une troisième fois), vous avez maintenant huit résultats possibles, comme le montre ce graphique :

Chaque résultat individuel n'a que 12,5 % de chances de se produire, mais 7 des 8 résultats comprennent au moins un seul résultat "face". En les additionnant, on obtient une chance de 87,5 % d'obtenir un seul résultat "face".

Chaque tirage de pièce supplémentaire augmente les chances d'obtenir au moins une seule tête.

Si l'on revient à l'utilisation d'un dé à 10 faces, les résultats suivent la même tendance, bien qu'avec 10 % de chances qu'un seul jet donne le résultat souhaité, l'augmentation est beaucoup moins prononcée, bien que toujours significative.

Un seul dé vous donne vos 10% de chances.

Deux dés (ou un seul dé lancé deux fois) vous donnent 100 possibilités, dont 19 ont au moins un 1 (19% de chances).

Trois dés (ou 3 lancers) vous donnent 1000 possibilités, dont 271 ont au moins un 1 (27,1% de chances).

La source des images est math-prof.com

Answer 5

Il existe une autre façon de voir les choses, qui fonctionne particulièrement bien avec un dé à dix faces.

Pensez aux nombres à un chiffre de 0 à 9. Combien d'entre eux ont un 1 ? Un, sur dix, ou 10%.

Maintenant, parmi toutes les combinaisons de deux chiffres, de 00 à 99, combien ont des 1 ? Eh bien, il y a 01, plus les dix chiffres de 10 à 19, puis 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81 et 91. Ça fait 19 sur 100, soit 19 %.

Faites de même pour les nombres à 3 chiffres. Vous aurez vos 19 d'avant, plus 100 à 199 (100 numéros), plus 19 autres de chacune des huit autres séries de cent. Cela fait 100+(19x9), ou 100+171, soit 271 sur 1000, ou 27,1%.

La suivante est (271x9)+1000, et ainsi de suite ; le schéma est assez clair.