Quels sont les scores moyens et médians des attributs dans Tunnels et Trolls ?

Question

Attributs des caractères dans Tunnels et trolls sont laminés comme suit (dans les nouvelles éditions ; le terme de jargon est TARO) :

1. Lancez 3d6.
2. Si tous les dés correspondent (vous avez obtenu un triple), lancez un autre 3d6.
3. Continuez avec l'étape 2 jusqu'à ce que vous n'obteniez plus de triples.
4. Additionnez tous les dés.

(Le processus s'applique à chaque attribut ; il n'y a pas d'interaction entre eux).

Exemple de jet 1 : les dés indiquent 3, 6, 6. Les résultats ne correspondent pas, on les additionne pour obtenir 15.

Exemple de jet 2 : les dés donnent 3, 3, 3. Puisque les dés correspondent, nous lançons un autre 3d6 et obtenons par hasard 2, 2, 2. Le résultat est toujours un triple, alors nous lançons un autre 3d6 et obtenons par hasard 2, 6, 4. Les dés ne sont plus un triple, alors nous additionnons le tout pour obtenir un résultat de 27.

Quel est le score moyen ? Et la médiane ?

Answer 1

On peut s'en approcher, jusqu'à une profondeur arbitraire, avec une variété de méthodes. Il est raisonnable de tronquer après N fois les jets de 3d6 - même s'ils sont tous triples - car la probabilité de toute combinaison continue (et donc son effet sur les statistiques) devient très faible. Techniquement, nous pouvons effectuer cette approximation car les probabilités se multiplient par une fraction inférieure à un, tandis que le résultat de la chance n'ajoute qu'une quantité limitée.

J'ai calculé les résultats de cette opération pour un maximum de 8 itérations (c'est-à-dire jusqu'à 7 résultats triples, plus un 8e où nous ignorons s'il s'agit d'un autre triple). C'est une approximation raisonnable, par exemple le résultat le plus élevé possible est un attribut de 144, mais cela se produit si rarement qu'il ne contribue que 3 sur 10^17 à la moyenne.

Voici un résumé des résultats :

• Moyenne 10.800 (comparé à 10.5 pour le 3d6 non modifié)

• Médiane 11 (contre 10,5 pour le 3d6 non modifié)

Les choses intéressantes ne commencent à se produire que lorsque vous regardez les percentiles supérieurs :

• Le 95e percentile est un score de 16 par rapport à 15 sans modification.

• Le 99e percentile est un score de 24 par rapport à 17 sans modification.

• Le 99,9e percentile (1 rouleau sur 1000) est un score de 32, contre 18 sans modification.

• Le 99,99e percentile (1 sur 10 000 rouleaux) est un score de 41.

Cette mécanique de jeu est donc très proche de celle des 3d6 ordinaires, sauf pour de rares exceptions chanceuses où il peut y avoir un gros coup de pouce.

En bonus, voici un graphique rapide pour comparer la version T&T (en rouge) avec le simple 3d6 (en jaune) :

Vous pouvez voir que certains des multiples de 3 ont une petite quantité de probabilité réduite, qui est compensée par des probabilités plus élevées par la suite (le plus visible à la "valeur triple" + 10|11) et une longue queue de faible probabilité.

Answer 2

La valeur attendue d'un jet standard de 3d6 est 21/2 et avec TARO l'espérance est de 10.8, soit 10 + 4/5 .

Je présente ci-dessous un argument non rigoureux. L'argument rigoureux avec la même idée est trop long pour une réponse ici ; à la place, veuillez voir Caractéristique attendue dans la création de personnages Tunnels & Trolls, avec des généralisations (T. Brander) dans le journal Mathématiques pour les applications , vol. 7, n° 2 (2018).

Nous avons 1/36 de chances d'obtenir des triples, ce qui (par linéarité de l'espérance ; voir détails ci-dessous) augmente la moyenne d'une autre moyenne de 3d6 multipliée par 1/36 ; c'est-à-dire que nous obtenons \$ 21/2 + 21/2 \cdot 1/36\$ .

Mais il se peut que nous obtenions à nouveau des triples ; il y a encore 1/36 de chance que cela se produise et si cela se produit, alors en moyenne nous ajoutons 21/2. En continuant ainsi, l'espérance est $$ \mathbb {E}( \text {TARO}) = \frac {21}{2} + \frac {21}{2} \cdot \frac {1}{36} + \frac {21}{2} \cdot \left ( \frac {1}{36} \right )^2 + \ldots. $$

C'est une série géométrique, donc $$ \mathbb {E}( \text {TARO}) = \frac {21}{2} \cdot \sum_ {j=0}^ \infty \left ( \frac {1}{36} \right )^j = \frac {21}{2} \cdot \frac {1}{1-1/36}.$$

Simplifions l'expression : $$ \mathbb {E}( \text {TARO}) = \frac {21}{2} \cdot \frac {1}{1-1/36} = \frac {21}{2} \cdot \frac {1}{35/36} = \frac {21}{2} \cdot \frac {36}{35} = 21 \cdot \frac {18}{35} = 3 \cdot \frac {18}{5} = \frac {54}{5} = 10 + \frac {4}{5}.$$

---

La médiane de la distribution est de 11. La médiane pour un jet standard de 3d6 est {10, 11}. Puisque DARO augmente les résultats, la médiane ne peut qu'augmenter (ou rester la même). Si le jet original était (3, 3, 3), DARO l'augmente jusqu'à au moins 13 ; ceci est suffisant pour garantir que la médiane pour DARO doit être au moins 11.

Pour obtenir une limite supérieure pour la médiane, nous pouvons supposer que chaque triple que nous lançons au départ nous donne le résultat final de l'infini. Cela déplace une masse de probabilité de 6/216 vers l'infini. La probabilité d'obtenir exactement 11 est de 27/216, donc déplacer une masse de 6/216 ne peut pas déplacer la médiane au-delà. Par conséquent, la médiane est au maximum de 11.

Puisque la médiane est au moins 11 et au plus 11, elle doit être 11.

Annexe

Avec le même calcul, on peut déterminer la moyenne de n dés avec s faces chacun, et de relancer et ajouter tant que tous les dés nouvellement lancés correspondent. La moyenne est la suivante $$ (1-s^{1-n})^{-1}n(s+1)/2. $$

En introduisant trois pour n et six pour s, on obtient le résultat ci-dessus. La moyenne avec DARO (double add roll over, la mécanique de résolution du jeu), en ignorant les échecs automatiques, est donc de 8,4 ou 42/5, ce qui est nettement supérieur à la moyenne de 7 avec un jet de 2d6 typique.

Answer 3

Une simple approximation... La moyenne de 3d6 est de 10.5
les chances d'avoir une fin ouverte sont de 1/36 (6 sur 216)

la 1ère récursion ajoute 10.5/1 * 1/36
\= 10.5/36
\= 3.5/12=7/24

la moyenne devrait donc être
10 1/2 + 7/24
\= 10 19/24

une deuxième récursion est
10 19/24 *(7/24 & 1/36)
\= 10 18/24 + 7/(24 * 36)
\= 10 19/24+ 7/864
\= 10 (674+7)/864
\= 10 681/864
\= 10 227/288

Mais notez quelques hic... 3 a 0 chance ; 6 est plus rare que la normale dans 3d6. Donc toute table de probabilité montrant un 3 pour un jet de TARO est complètement fausse.

Edit : Après m'être assis avec mon deuxième tableur préféré, j'ai trouvé 2 récursions...
(maisons en magnitude délimitées par des espaces minces, décimales par un point)

\begin {array}{|r|rr|} \hline \text {N} & \text {P(N)/10077696} & \text {Pourcentage} \\ \hline \text {3} & \text {0} & \text {0.000000%} \\ \text {4} & \text {139968} & \text {1.388889%} \\ \text {5} & \text {279936} & \text {2.777778%} \\ \text {6} & \text {419904} & \text {4.166667%} \\ \hline \text {7} & \text {700488} & \text {6.950874%} \\ \text {8} & \text {981072} & \text {9.735082%} \\ \text {9} & \text {1121689} & \text {11.130411%} \\ \hline \text {10} & \text {1263603} & \text {12.538610%} \\ \text {11} & \text {1265550} & \text {12.557930%} \\ \text {12} & \text {1126884} & \text {11.181961%} \\ \hline \text {13} & \text {989517} & \text {9.818881%} \\ \text {14} & \text {711537} & \text {7.060513%} \\ \text {15} & \text {432264} & \text {4.289314%} \\ \hline \text {16} & \text {294258} & \text {2.919894%} \\ \text {17} & \text {154959} & \text {1.537643%} \\ \text {18} & \text {14365} & \text {0.142543%} \\ \hline \text {19} & \text {15684} & \text {0.155631%} \\ \text {20} & \text {15708} & \text {0.155869%} \\ \text {21} & \text {14436} & \text {0.143247%} \\ \hline \text {22} & \text {15756} & \text {0.156345%} \\ \text {23} & \text {15780} & \text {0.156583%} \\ \text {24} & \text {14508} & \text {0.143961%} \\ \hline \text {25} & \text {15180} & \text {0.150630%} \\ \text {26} & \text {14556} & \text {0.144438%} \\ \text {27} & \text {12634} & \text {0.125366%} \\ \hline \text {28} & \text {12006} & \text {0.119134%} \\ \text {29} & \text {10080} & \text {0.100023%} \\ \text {30} & \text {7500} & \text {0.074422%} \\ \hline \text {31} & \text {6210} & \text {0.061621%} \\ \text {32} & \text {4266} & \text {0.042331%} \\ \text {33} & \text {2316} & \text {0.022981%} \\ \hline \text {34} & \text {1656} & \text {0.016432%} \\ \text {35} & \text {990} & \text {0.009824%} \\ \text {36} & \text {322} & \text {0.003195%} \\ \hline \text {37} & \text {300} & \text {0.002977%} \\ \text {38} & \text {276} & \text {0.002739%} \\ \text {39} & \text {252} & \text {0.002501%} \\ \hline \text {40} & \text {228} & \text {0.002262%} \\ \text {41} & \text {204} & \text {0.002024%} \\ \text {42} & \text {180} & \text {0.001786%} \\ \hline \text {43} & \text {156} & \text {0.001548%} \\ \text {44} & \text {132} & \text {0.001310%} \\ \text {45} & \text {109} & \text {0.001082%} \\ \hline \text {46} & \text {87} & \text {0.000863%} \\ \text {47} & \text {66} & \text {0.000655%} \\ \text {48} & \text {48} & \text {0.000476%} \\ \hline \text {49} & \text {33} & \text {0.000327%} \\ \text {50} & \text {21} & \text {0.000208%} \\ \text {51} & \text {12} & \text {0.000119%} \\ \hline \text {52} & \text {6} & \text {0.000060%} \\ \text {53} & \text {3} & \text {0.000030%} \\ \text {54} & \text {1} & \text {0.000010%} \\ \hline \end {array}

Statistiquement, longue queue droite, moyenne 10,7998, mode 11, étendue 4-54, milieu de l'étendue [28, 29], résultat médian 10.

Answer 4

Personne ne semble avoir mis en ligne un programme AnyDice pour calculer cela, donc Laissez-moi faire ça. :

function: taro ROLL:s {
  if 1@ROLL = 3@ROLL {
    result: ROLL + 3d6
  } else {
    result: ROLL
  }
}
output 3d6 named "normal 3d6"
output [taro 3d6] named "3d6 explode triples"

ou, un peu plus généralement :

function: explode ROLL:s as DIE:d up to N:n times if all equal {
  if N > 0 & 1@ROLL = (#ROLL)@ROLL {
    result: ROLL + [explode DIE as DIE up to N-1 times if all equal]
  } else {
    result: ROLL
  }
}
function: explode DIE:d if all equal {
  result: [explode DIE as DIE up to 2 times if all equal]
}
output 3d6 named "normal 3d6"
output [explode 3d6 if all equal] named "3d6 explode triples"

Le premier programme ci-dessus ne relance qu'une fois au maximum, tandis que le second relance jusqu'à deux fois et peut être facilement modifié pour relancer un nombre quelconque de fois. (Le second programme fonctionne aussi correctement tel qu'il est écrit avec n'importe quel nombre de dés de n'importe quelle taille, pas seulement 3d6). Dans la pratique, cela ne fait aucune différence - la probabilité d'obtenir deux relances (ou plus) sur le même jet est d'une sur deux. \$36^2 = 1296\$ c'est-à-dire inférieur à \$0.1\%\$ .

En d'autres termes, comme le notent les autres réponses, la distribution est fondamentalement la même que celle d'un jet normal de 3d6, à l'exception d'une petite ( \$1\:/\:36 \approx 2.8\%\$ ) chance d'un reroll faisant ressembler approximativement à un 6d6 à la place et une chance infiniment petite de résultats encore plus élevés :