Ces deux méthodes de traitement du "double avantage" de la précision elfique sont-elles mathématiquement équivalentes ?

Question

Pour le contexte, une partie de la Précision elfique exploit ( Le guide de Xanathar pour tout , p. 74) déclare :

Chaque fois que vous avez l'avantage sur un jet d'attaque utilisant la Dextérité, l'Intelligence, la Sagesse ou le Charisme, vous pouvez relancer un des dés une fois.

La façon évidente de gérer cela, mécaniquement, est de lancer deux dés, de choisir le plus bas et de le relancer. Mais pour gagner du temps, j'ai proposé de lancer trois dés simultanément et de choisir la valeur la plus élevée.

Le problème est que je ne suis pas certain que cela soit mathématiquement correct.

J'ai créé un simulation de code qui était destiné à modéliser la courbe de probabilité des deux méthodes, et il suggère que les deux méthodes sont mathématiquement équivalentes, mais la simulation n'effectue qu'un échantillonnage direct de nombres aléatoires et de leurs résultats ; elle comporte une erreur inévitable dans les résultats et ne tente pas de résoudre les principes mathématiques sous-jacents impliqués.

//Roll 3, pick highest
ResultSet: Double Advantage 
    Average: 15.48246
    Variance: 14.94721234837884
    Std. Deviation: 3.8661624834425727
    95% range: [6, 20]
    Mode: 20 
    Median: 16

//Roll 2, reroll lowest, pick highest
ResultSet: Alternate Double Advantage
    Average: 15.488486
    Variance: 14.944649427739675
    Std. Deviation: 3.8658310138623073
    95% range: [6, 20]
    Mode: 20 
    Median: 16 

Est-il correct de dire que ces deux méthodes de lancer de dés sont équivalentes, ou dois-je m'en tenir à l'interprétation RAW de la façon dont ces dés doivent être lancés ?

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Si ce personnage a la capacité de s'envelopper de façon quasi-permanente dans les Ténèbres (ce qui est l'une de ses caractéristiques de classe), cela lui donnera un avantage quasi-permanent contre les créatures qui n'ont pas la Vue du Diable ou la Clairvoyance (ou une Magie de Contresens/Dispel fiable et inflammable). La simplification de ce jet peut donc être importante en termes de gain de temps.

Answer 1

Comme d'autres réponses l'ont indiqué, cette méthode est équivalente pour le dé le plus élevé/le plus haut mais est ambiguë quant à la valeur du dé inférieur.

Cela dit, voici une façon intuitive d'y penser et de vous convaincre que les méthodes sont équivalentes pour le dé le plus élevé/le plus haut : au lieu de "lancer un dé" en le jetant immédiatement sur une surface et en attendant qu'il se stabilise, remplacez cela par le processus en deux étapes consistant à (1) le secouer sous une tasse opaque, et (2) retirer la tasse pour révéler le dé. La clé ici est que n'importe quel temps peut s'écouler entre les étapes (1) et (2).

Pensez maintenant à la méthode "roll two and reroll", plus précisément à la méthode suivante :

• Hochet trois dés sous trois gobelets
• Révélez deux dés (vous avez maintenant "lancé" deux dés).
• Jeter le plus petit des deux révélés
• Révélez le troisième dé (vous avez maintenant "relancé" le deuxième dé - rien ne dit qu'il doit s'agir du même dé physique, et nous supposons que tous les dés sont équitables).
• Choisissez le plus élevé des deux dés non rejetés.

Vs la méthode du rouleau trois :

• Hochet trois dés sous trois gobelets
• Révélez trois dés (vous avez maintenant "lancé" trois dés).
• Choisissez le plus élevé des trois dés

Est-ce que quelque chose de fondamentalement différent se passe ici ? Non. Rien ne change vraiment, sauf l'ordre des révélations. Vous finirez toujours par sélectionner le même dé le plus élevé. Mais là encore, il y a ambiguïté sur l'identité du second dé.

Je trouve que le fait de penser aux situations de relances de cette manière (c'est-à-dire en séparant la génération du nombre de ma connaissance de celui-ci) aide à aiguiser mon intuition sur la façon dont le hasard fonctionne réellement.

Answer 2

Il n'y a pas de différence... en général.

Lorsque vous lancez 2 dés, puis en relancez 1 et prenez le plus élevé, vous reproduisez effectivement le résultat de 3 dés et prenez le plus élevé. Puisque vous êtes généralement intéressé à prendre la plus haute valeur (cf. La réponse de FrazzleUK pour les cas où vous ne voudriez pas le faire) et puisque les jets de dés sont indépendants (vous devez toujours lancer un troisième dé quel que soit le résultat des deux premiers), il n'y a effectivement aucune différence dans ce que vous proposez.

Cependant, la rationalisation du nombre de dés autorisés à la fois pour les jets et les relances dans les dés initialement lancés. podría causer des problèmes lors de l'interaction avec certaines autres caractéristiques qui autorisent ou forcent à relancer ou à lancer des dés supplémentaires uniquement lorsque certains résultats de dé naturel ou de lancer sont atteints. Si la combinaison particulière de caractéristiques entraîne une relation conditionnelle entre les dés (en d'autres termes, si le nombre de dés que vous lancez lors de la rationalisation n'est pas toujours la même et peut dépendre des résultats obtenus) alors il y a mai être une différence dans les résultats en utilisant ce que vous proposez.

Les cas limites d'interaction avec ces autres fonctionnalités ne sont pas compliqués à analyser mais ne valent pas vraiment la peine d'être pris en compte, car il y a beaucoup d'interactions possibles et il pourrait y en avoir d'autres lorsque de nouvelles fonctionnalités seront publiées dans de futurs produits. Par sécurité, il est plus facile de s'en tenir aux règles standard de Précision elfique si vous avez un personnage qui va le combiner avec d'autres caractéristiques de relance, mais s'il n'y a pas d'interactions de caractéristiques à craindre, alors ça devrait aller.

Et il pourrait être une perte de temps.

De plus, même s'il faut un peu de matière grise pour choisir et relancer 1 des 2 dés lors que l'on utilise Précision elfique le joueur ne pourra pas toujours veulent le faire. Si un de leurs dés est un succès critique ou évident (comme un 20 sur un jet d'attaque, ou un jet élevé contre une CA connue), ils sauteront probablement le relancement. Si vous lancez toujours 3 dés et choisissez le plus élevé, la matière grise totale dépensée au fil du temps pourrait sera plus élevé que si vous ne relancez qu'un seul des deux lorsque cela semble nécessaire, en fonction de la personne.

En d'autres termes, d'après mon expérience à la table, il est peu probable qu'un joueur utilise réellement les avantages de l'option Précision elfique à moins qu'il n'ait l'avantage (ce qui n'est pas souvent le cas en général mais semble l'être dans votre cas d'utilisation) mais il semble toujours qu'il ait raté le jet (ce qui est peu probable avec l'avantage). Il pourrait y avoir plus de frais généraux en expliquant (et en clarifiant la confusion des joueurs) la façon dont vous modifiez les règles du jeu. Précision elfique et d'attendre que les joueurs moins habiles trouvent les dés supplémentaires que vous économiseriez en temps de lancer de dés. Votre kilométrage (et vos joueurs) peut varier.

Answer 3

Ils sont les mêmes

Vous semblez avoir raison en ce qui concerne le processus mécanique. Lancer 2 dés puis relancer l'un d'eux revient à lancer 3 dés au départ.

Le seul problème que je vois serait si vous vouliez, pour une raison quelconque, rater le jet. Si vous lancez 2 dés (pour l'avantage), vous devez prendre le dé le plus élevé avec RAW. Avec l'exploit, vous avez la possibilité de relancer le dé le plus élevé, donc vous pouvez potentiellement vous donner une meilleure chance d'échouer. Avec 3 dés, vous ne seriez pas en mesure de dire quel est le dé relancé.

Toutefois, si votre objectif est de réussir, l'une ou l'autre option donnera les mêmes résultats.

Answer 4

Vous pouvez prouver qu'ils sont identiques plutôt que de le simuler.

Il y a 400 résultats différents en lançant 2 dés. Pour chacun d'entre eux, si vous relancez la valeur la plus faible, il existe 20 possibilités de relance différentes. Chacune de ces 8000 possibilités a la même probabilité.

De même, si vous lancez 3d20, il y a 8000 possibilités.

Il suffit de noter le nombre de 20, 19, et même de 1 que vous obtenez dans chaque cas.

// array containing all the sides of a d20.  Makes later code
// a bit cleaner:
int d20[]={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20};

using result = std::map<int, int>;

template<std::size_t N>
using roll = std::array<int, N>;

auto all_2die_rolls() {
    std::vector<roll<2>> result;
    for (int i:d20)
        for (int j:d20)
            result.push_back({{i,j}});
    return result;
}

auto all_3die_rolls() {
    std::vector<roll<3>> result;
    for (int i:d20)
        for (int j:d20)
            for (int k:d20)
                result.push_back({{i,j,k}});
    return result;
}

auto apply_elven( std::vector<roll<2>> two_die_rolls ) {
    std::vector<roll<2>> result;
    for (auto roll:two_die_rolls) {
        auto keep = *std::max_element( roll.begin(), roll.end() );
        for( int k:d20)
            result.push_back({{keep, k}});
    }
    return result;
}

template<std::size_t N>
auto generate_result( std::vector<roll<N>> rolls ) {
    result retval;
    for (auto roll:rolls) {
        retval[ *std::max_element( roll.begin(), roll.end() ) ]++;
    }
    return retval;
}

void print( result r ) {
    std::size_t total = 0;
    for (auto[ roll, count ]:r) {
        std::cout << "d20 = " << roll << " has " << count <<"\n";
        total += count;
    }
    std::cout << "Total is " << total << "\n";
}

bool test_hypothesis() {
    auto two_die = all_2die_rolls();
    auto three_die = all_3die_rolls();
    two_die = apply_elven(two_die);
    // for debugging: print(generate_result(two_die));
    // for debugging: print(generate_result(three_die));
    return generate_result(two_die) == generate_result(three_die);
}

Ce code C++ génère d'abord les 8000 cas possibles pour 3d20 et 2d20+EA. Ensuite, il compte combien de 1, 2, , 20, et compare s'ils sont identiques. Il retourne true ce qui signifie que "lancer l'avantage, puis relancer le plus petit jet avec une précision elfique, puis garder le plus élevé, génère les mêmes résultats, exactement, que lancer 3 dés et prendre le plus élevé" ( exemple concret ).

Tant que vous visez à toucher et prenez des décisions optimales (en relançant le dé faible), vos probabilités sont les mêmes. Le seul cas où vous ne vous donneriez pas la peine de faire un jet d'attaque serait si vous avez déjà obtenu un 20, et faire un nouveau jet dans ce cas est sans danger (et ne change pas les probabilités ou les résultats).

Answer 5

J'aime beaucoup certaines des réponses déjà fournies, aussi bien les réponses intuitives que celles avec le code et les expériences numériques. Je voudrais contribuer en donnant une preuve mathématique qui affirme que les deux procédures sont les mêmes. Je me concentrerai sur la considération du joueur qui veut le plus haut jet, et non le plus bas.

Nous devons faire face à statistiques des commandes de variables discrètes. On désigne par \$f(x)\$ el probabilité d'obtenir \$x\$ sur une matrice et avec \$F(x)\$ el fonction de distribution cumulative . Supposons que le n -Le dé à facettes est juste.

Désignez par \$X_{(2)}\$ y \$X_{(3)}\$ le maximum obtenu sur 2 et 3 rouleaux, respectivement (j'essaie d'imiter la notation Wikipedia). La première stratégie consiste à lancer 3 dés et à prendre le résultat le plus élevé : alors la probabilité d'obtenir \$x\$ est

\begin {align}P(X_{(3)}=x) &= F(x)^3 - [ F(x) - f(x) ]^3 \\ &= 3 F(x)^2 f(x) -3 F(x) f(x)^2 + f(x)^3 \end {alignement}

La deuxième stratégie, qui consiste à lancer deux dés, à jeter le plus bas, à lancer un autre dé et à prendre le résultat le plus élevé, peut être décrite mathématiquement de la manière suivante

$$P(x) = P(d_3=x) P(X_{(2)} \leq x) + P(d_3<x) P(X_{(2)}=x)$$.

où je désigne par \$d_3\$ le jet du 3ème dé. La formule ci-dessus prend en compte les deux cas suivants : on obtient un résultat inférieur ou égal à \$x\$ dans les deux premiers rouleaux, puis on obtient \$x\$ dans le 3ème ou on obtient \$x\$ dans l'un (ou les deux) des 2 premiers rouleaux et le 3ème est inférieur à \$x\$ . En utilisant la première formule de aquí nous pouvons réécrire la précédente comme

$$P(x) = f(x) F(x)^2 + [F(x) - f(x)] [F(x)^2 - [ F(x) - f(x) ]^2]$$.

puis, après un peu d'algèbre,

$$P(x) = 3 F(x)^2 f(x) -3 F(x) f(x)^2 + f(x)^3$$$

qui est la même formule pour la probabilité d'obtenir \$x\$ comme le résultat le plus élevé sur 3 jets.

Alors, la réponse finale est sí : les deux méthodes sont mathématiquement équivalentes . Les expériences numériques et tout le code des réponses précédentes ont fortement suggéré que le PO avait raison, mais cette preuve mathématique est valable pour n'importe quel dé, bien que je n'ai pas cherché une généralisation avec \$n-1\$ y \$n\$ des rouleaux.