Quelle est la méthode de création de personnage statistiquement supérieure, douze 3d6 ou six 4d6 ?

Question

Le D&D 3.5 Manuel du joueur donne (entre autres) deux méthodes préférées pour obtenir des scores de capacité pour un nouveau personnage : a) lancer 3d6 douze fois et garder les six résultats préférés, ou b) lancer 4d6 et laisser tomber le dé le plus bas, six fois.

Quelle est la méthode statistiquement la meilleure en termes de nombre total de modificateurs ?

De plus, le livre de règles de base exclut les personnages dont le bonus total est inférieur à +3, car les aventuriers sont supposés être des personnes exceptionnelles.

Answer 1

Il semble que bySwarm ait raison. Voici les résultats :

Le long de l'axe X, le bonus total sur les six scores de capacité. Le long de l'axe Y, la probabilité, obtenue à partir d'un million d'exécutions. Les résultats inférieurs à un bonus total de +3 ont été éliminés du compte, de sorte que le total général des exécutions est inférieur au million initial.

Il apparaît que la méthode des douze 3d6 produit statistiquement un meilleur bonus total que la méthode des 4d6.

Voici le code pour exécuter le cas 4d6 (en Python)

import sys
import random

count = {}
for i in xrange(1,1000000):
    collection = []
    for j in xrange(0,6):
        extraction = [random.randint(1,6), random.randint(1,6), random.randint(1,6), random.randint(1,6) ]
        #print extraction
        collection.append( sum( sorted( extraction )[1:] ) )
    #print collection 
    bonuses = map(lambda x: (x-10)/2, collection)
    #print bonuses
    total_bonus = sum(bonuses)
    #print total_bonus

    if total_bonus < 3:
        #print "too low, excluded"
        continue

    if not count.has_key(total_bonus):
        count[total_bonus]=0
    count[total_bonus] += 1

total_extractions = sum(count.values())
for bonus,occurrences in sorted(count.items()):
    print bonus,occurrences/float(total_extractions)

C'est pour le cas des douze 3d6 :

import random

count = {}
for i in xrange(1,1000000):
    collection = []
    for j in xrange(0,12):
        extraction = [random.randint(1,6), random.randint(1,6), random.randint(1,6) ] 
        collection.append( sum( extraction ) )
    ##print collection
    collection = sorted(collection)[6:]
    #print collection

    bonuses = map(lambda x: (x-10)/2, collection)
    #print bonuses
    total_bonus = sum(bonuses)
    #print total_bonus

    if total_bonus < 3:
        #print "too low, excluded"
        continue

    if not count.has_key(total_bonus):
        count[total_bonus]=0
    count[total_bonus] += 1

total_extractions = sum(count.values())
for bonus,occurrences in sorted(count.items()):
    print bonus,occurrences/float(total_extractions)

Answer 2

Si vous obtenez réellement une distribution standard à partir des dés dans la méthode 3d6 x12, elle sera légèrement meilleure qu'une distribution standard des résultats de la méthode 4d6. Plus vous prenez d'échantillons, plus vous avez de chances d'obtenir quelque chose qui se rapproche de la moyenne ou d'une distribution standard. Moins vous prenez d'échantillons, plus les résultats sont susceptibles d'être aléatoires.

Answer 3

Il est peut-être vrai que la méthode 3d6 permet d'obtenir plus de modificateurs totaux. en moyenne Mais je pense qu'il est important de noter que si quelqu'un construit un magicien et fait vraiment du min-max, ce joueur espère surtout obtenir un seul 17 ou 18.

La probabilité d'obtenir un 18 sur un 3d6 est de 0,46% (1/216), et en 12 jets, cette chance passe à 5,42%.

La probabilité d'obtenir un 18 sur un 4d6k3 est de 1,85% (24/1296), et en 6 jets, cette chance passe à 10,61%.

Par des calculs similaires, j'obtiens la probabilité d'obtenir au moins un résultat 17 pour 12 séries de 3d6, soit 15,45%, et pour 6 séries de 4d6k3, soit 24,75%.

En résumé, lorsque vous construisez un personnage où vous voulez surtout pour obtenir un statut très fort, lancez 4d6 pour améliorer vos chances. .

Answer 4

J'ai publié un PDF bien formaté de cette réponse que vous pouvez lire/imprimer/télécharger à l'adresse suivante http://www.scribd.com/doc/37700790

Lorsque vous lancez 4d6k3, chacun de vos 6 scores de capacité suit exactement la même distribution de probabilité. Dans le jargon des statistiques, vos 6 scores de capacité sont i.i.d. (1) des variables aléatoires.
Appelez l'une de ces variables aléatoires i.i.d. \$Y\$, elle possède les caractéristiques suivantes :

• El moyenne de \$Y\$ est \$E[Y]=12.2446\$
• Son écart type c'est \unicode {}_Y = 2.8468 \$
• Sa distribution est biaisée vers la gauche avec asymétrie de \$-0.2835\$

Par comparaison, lorsque vous lancez 3d6 une fois, vous obtenez une variable aléatoire \$$X\$, avec les caractéristiques suivantes :

• El moyenne de \$X\$ est \$E[X]=10.5\$
• Son écart type c'est \sigma_X =2.9580\$
• Sa distribution est symétrique, donc sa asymétrie c'est \N- 0$$

Cependant, lorsque vous lancez 3d6 12 fois et que vous gardez les 6 plus élevés, vous obtenez 6 variables aléatoires différentes (non i.i.d.), appelées statistiques de 7e à 12e ordre, notées \$X_{(7)}, \dots ,X_{(12)}\$. Par exemple, X ₍₁₂₎ est le maximum des 12 rouleaux. Chaque statistique d'ordre a sa propre moyenne, son écart-type et son asymétrie :

\begin {array}{l|rrr} & \text {moyen} & \text {écart-type} & \text {skewness} \\ \text {Statistique d'ordre} & E[X_{(i)}] & \sigma_ {X_{(i)}} \\ \hline X_{(7)} & 10.8184 & 1.1411 & -0.0056 \\ X_{(8)} & 11.4663 & 1.1487 & -0.0098 \\ X_{(9)} & 12.1517 & 1.1693 & 0.0071 \\ X_{(10)} & 12.9190 & 1.2154 & 0.0436 \\ X_{(11)} & 13.8598 & 1.3046 & 0.0503 \\ X_{(12)} & 15.2263 & 1.4460 & -0.1251 \end {array}

Bien sûr, vous pouvez facilement trouver la moyenne des moyennes des statistiques du 7e au 12e ordre :

$$ \mu = \dfrac { \sum ^{12}_{i=7} E[X_{(i)}]}{6} = 12.7403 $$

Alors \mu > E[Y]\$ par environ un ½ point. Mais notez que E[X_{(7)}] > E[X_{(8)}] > E[X_{(9)}] > E[Y]\$ ce qui signifie que la valeur attendue de chacun des 6 scores d'aptitude générés par 4d6k3 est supérieure à ce que vous pouvez attendre de la moitié des scores d'aptitude générés par les 6 plus grands de 12x(3d6).
La réponse n'est donc pas si simple.

---

(1) . "Variables aléatoires i.i.d." signifie "variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées".

Answer 5

J'ai simulé un million de tableaux de stat avec chaque méthode. J'ai trié chaque tableau, puis j'ai pris la moyenne. Voilà ce que j'ai obtenu :

with 3d6×12 method :    10.8  11.5  12.2  12.9  13.9  15.2 
with 4d6 method    :     8.5  10.4  11.8  13.0  14.2  15.7

Ainsi, avec la méthode 3d6×12, votre meilleure statistique sera en moyenne de 15,2. Avec la méthode 4d6, elle sera en moyenne de 15,7.

Conclusion : avec la méthode des 4d6, vos meilleures (et deuxièmes et troisièmes meilleures) statistiques seront plus élevées, mais vos autres statistiques seront nettement plus faibles.