La meilleure stratégie de backgammon pour nettoyer ma maison

Question

Tous mes pions sont dans ma maison, tous les pions de mon adversaire ne sont pas dans ma maison.

Je lance les dés.

En supposant que je ne puisse pas sortir les pions, quelle est ma meilleure stratégie pour les faire avancer ? Par exemple, si c'est ma maison et que je lance un 2, dois-je déplacer le 6 ou le 3 ?

#| | | | | | |#
#|X| | |X| | |#

Puisque je ne suis pas dépendant de mon adversaire, je suppose qu'il y a une stratégie optimale que je peux utiliser ici. Est-ce que c'est "toujours déplacer les chiffres les plus élevés", "toujours déplacer les chiffres les plus bas", quelque chose de plus compliqué ?

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exemple

Dans le cas simple que j'ai décrit ci-dessus, je sais qu'il est préférable de déplacer le 6, puisque mes chances de me dégager au prochain tour sont plus élevées :

option 1 : déplacer les 3

résultat :

#|X| | | | |X|#

chance de gagner :

Je dois obtenir un 6 au moins à un dé, donc c'est

# get a 6 in the first dice
1/6 +
# get 2-5 in the first dice, 6 in the second or double
4/6 * (1/6 + 1/6) +
# get 1 in the first dice, 6 in the second
1/6 * 1/6 =
# result:
0.416

option 2 : déplacer le 6

résultat :

#| | |X|X| | |#

chance de gagner :

Je dois obtenir au moins un 3,4 :

# both dice get 3-6:
4/6 * 4/6 +
# double 2:
1/6 * 1/6
# result:
0.472

Il s'en est fallu de peu, mais c'est mieux de déplacer le 6.

Mais il s'agit d'un cas simplifié, qui suppose que je terminerai soit au tour suivant, soit au tour suivant. Qu'en est-il lorsque j'ai plus de 2 pions ?

Answer 1

Mathématiquement parlant, vous devez minimiser le nombre moyen de dés supplémentaires nécessaires pour faire tomber tous les pions. Cela implique une minimisation du nombre de lancers abandonnés - des lancers qui ne retirent pas un pion de votre maison, mais le font avancer.

Supposons que vous déplaciez le trois vers le un et que vous laissiez le six sur le premièrement tour. Sur le deuxième tour, vous devez maintenant lancer un 6 et un {1,2,3,4,5} ou un double {2,3,4,5,6} pour éliminer les deux pions avec une probabilité de 15/36. Si vous obtenez moins, vous éliminerez un pion avec une probabilité de 19/36 ou rien avec une probabilité de 2/36.

Sur votre troisième Au tour suivant, vous retirez le dernier pion avec une probabilité qui dépend du lancer précédent, mais dans 96,6 % des cas en moyenne, vous avez terminé. Les 3,4% restants nécessitent un quatrième tour. Si vous aviez les deux pions restants, vous portez les deux 17/18 pour terminer et vous avez besoin d'un quatrième tour pour les 1/18 restants.

Globalement, il s'agit d'une moyenne de 2.604 tours pour porter les deux .

Une analyse similaire montre qu'en déplaçant le six vers le quatre et en laissant le trois, vous avez 47 % de chances de terminer sur le trois. deuxième tour, et 50% pour finir sur le troisième tourner. La moyenne depuis cette position est de 2.553 tours pour porter les deux .

Notez qu'à chaque tour suivant, vous êtes mieux placé pour terminer le tour en question en avançant le six sur le plateau. premièrement tour, pas les trois. La raison en est simple : le jet d'un seul dé a une distribution uniforme et le jet de deux dés a une distribution triangulaire. Cela signifie que vous avez plus de chances de toucher les valeurs situées au milieu de la fourchette, soit 3 ou 4, et moins de chances de toucher celles situées aux extrémités, soit 1 ou 6, tandis que 2 et 5 se situent au milieu. Puisque la sortie exige au moins un nombre particulier, et que les petits jets ne font sortir que de petits nombres, il est plus probable qu'un pion au milieu puisse sortir qu'un pion aux six extrémités. En déplaçant les pions de l'extrémité supérieure vers le milieu, vous avez de meilleures chances de sortir beaucoup plus rapidement qu'en déplaçant les pions du milieu vers l'extrémité inférieure.

Vous pouvez le tester vous-même : installez un tableau avec les deux couleurs dans leurs propres maisons, le blanc étant réparti entre les points un et six, le noir entre les points trois et quatre. La grande majorité des parties se termineront par une victoire des Noirs : les Blancs ont du mal à utiliser les lancers du milieu pour faire avancer les pions élevés, tandis que les Noirs utilisent presque tous leurs tours pour enlever au moins un pion. Pour vraiment illustrer ce point, utilisez des tours identiques pour les deux camps en lançant les dés une fois et en jouant les deux avec ces chiffres.

En termes de stratégie, cela signifie

1. Supprimez le plus de pions possible.

2. Avancez les pions restants les plus élevés qui ne peuvent pas être enlevés.

Answer 2

La logique consistant à trouver la "règle générale" dans ces situations est erronée et conduira à des erreurs potentielles. Il existe des positions où vous devez déplacer le chiffre le plus élevé ou le plus bas et où vous devez être capable de calculer rapidement le nombre de combinaisons de dés qui sont favorables ou non pour votre prochain lancer.

Dans votre exemple, si vous laissez les pions à 6,1 points : il vous faut tous les six (11 peignes) plus 55,44,33,22 (4 peignes), total de 15.

Si toutefois vous laissez les pions sur 4,3 points, il vous faut 65,64,63,54,53,43 (12 peignes) plus 66,55,44,33,22 (5 peignes) pour un total de 17 rouleaux. Ce dernier jeu est supérieur.

Au cas où l'on se demanderait pourquoi ne pas toujours déplacer le point le plus élevé, prenons l'exemple de deux pions sur 5,3 avec la nécessité de jouer un deux. Si votre déplacement est 5-3, laissant les pions sur 3,3, vous perdrez clairement plus de parties que si vous aviez déplacé 3-1, recevant la position 5,1. Je vous laisse calculer les peignes et comparer.

Answer 3

Pour un petit nombre de chéquiers, les chances relatives peuvent être calculées exactement comme décrit par les autres réponses. Pour les cas où le nombre de pions est trop important pour effectuer des calculs de tête, l'heuristique suivante est recommandée depuis longtemps par les joueurs de championnat :

Divisez la planche d'accueil en trois parties comme suit :

• Le seau 1 correspond aux points 1 et 2 ;
• Le godet 2 correspond aux points 3, 4 et 5 ; et
• Le seau 3 est le point 6.

Minimiser le nombre de coups qui Ne le fais pas. réduire le nombre de seaux d'un pion ; ou alternativement, maximiser le nombre de coups qui réduire le numéro de seau d'un chéquier.

Cela peut être rappelé plus succinctement comme suit :

Dans la mesure du possible : atteindre le 5(-point) ou atteindre le 2(-point) avec chaque damier qui ne peut être emporté par le vent .