Le problème vient d'une mauvaise compréhension des différents types d'actions dont vous disposez pendant votre tour en 5e. Pendant votre tour, vous avez :
Mouvement - Pendant votre tour, vous pouvez vous déplacer jusqu'à votre vitesse (30 pieds, sauf si votre race, le port d'une armure lourde ou une autre caractéristique la modifie). Ce mouvement peut être divisé en plusieurs segments si vous le souhaitez, comme se déplacer avant et après les attaques.
Un Action standard - la "chose" que vous faites pendant le tour. Le PHB p.192 détaille les actions normales que vous pouvez faire, telles que Dash (faire un mouvement supplémentaire), Attack (effectuer une sorte d'attaque ; bien qu'il s'agisse d'une action unique, cela peut impliquer plusieurs coups, selon vos capacités), Cast a Spell, et ainsi de suite.
Jusqu'à un Action bonus - SI vous avez une capacité qui vous donne une opportunité d'action bonus, comme la caractéristique "Action rusée" de 2ème niveau du Voleur, vous pouvez prendre une action bonus à votre tour pour effectuer une action à laquelle vous avez accès. Même si vous avez plusieurs capacités qui accordent des actions bonus, vous ne pouvez effectuer qu'une seule action bonus par tour.
Jusqu'à un Réaction - la Réaction est une action spéciale qui n'est initiée que lorsqu'elle est déclenchée par les actions d'un autre personnage ou par une situation. Le plus souvent, il s'agit de l'attaque d'opportunité, effectuée lorsqu'un autre personnage baisse sa garde pour s'éloigner de vous. Comme pour l'action Bonus, vous n'avez droit qu'à une seule réaction, et si vous l'utilisez pour une raison quelconque, vous n'en aurez pas d'autre avant le début de votre prochain tour.
Autre(s) action(s) - généralement, des actions simples qui ne demandent presque aucun effort. Dans le cadre de vos mouvements et actions, vous pouvez effectuer des interactions simples avec les objets qui vous entourent. Voir le tableau du PHB p.190 pour quelques exemples.
Une fois ces points éclaircis, voici la procédure à suivre pour effectuer une attaque "tactile" avec votre familier.
(J'utiliserai Magicien ici car c'est la classe à laquelle je pense en premier, cependant elle est interchangeable avec toute autre classe qui obtient un familier).
Premier : Les conditions préalables. Le magicien doit avoir une action prête, soit parce que c'est son tour, soit parce qu'il a préparé une action à déclencher lorsque le familier s'approche de la cible.
Le Familier doit avoir une Réaction prête, en n'en ayant pas utilisé une depuis le début de son dernier tour.
Le familier doit se trouver à moins de 100' du magicien, et à portée pour effectuer une attaque tactile contre la cible (généralement 5'/carré adjacent).
Si tout cela fonctionne...
Au tour du magicien, il lance le sort. Le tour actif du sorcier est mis "en pause" ici.
(Encore) Au tour du magicien, son familier utilise sa "réaction" pour effectuer l'attaque. Il s'agit essentiellement d'un type inhabituel d'"attaque d'opportunité". Notez que le familier n'a pas droit à un tour complet. Cela signifie pas de mouvement, pas d'actions bonus, pas d'actions standards, etc... Seulement l'attaque basée sur un sort.
Si nécessaire, effectuez un jet d'attaque comme d'habitude avec le sort (en utilisant les stats du magicien).
Résolvez le sort normalement, comme le magicien qui l'a lancé, c'est-à-dire : attaques ratées, jets de sauvegarde, dégâts, etc.
La réaction du familier est maintenant terminée. Il a utilisé sa réaction, et n'en aura pas d'autre avant le début de son prochain tour.
Le jeu revient à l'assistant, qui peut maintenant poursuivre toutes les actions qu'il souhaite entreprendre.
En ce qui concerne la forme du familier, c'est "un esprit qui prend une forme animale que vous choisissez : [liste]."
Dans les éditions précédentes de D&D, il y avait de nombreuses options pour obtenir un familier plus puissant. Les mots "forme que vous choisissez" semblent laisser beaucoup de place pour d'autres formes de familiers, et tant que ces options sont disponibles pour tout lanceur de sorts qui obtient un familier, je ne peux pas voir cela comme un problème d'équilibre significatif.
"Rappelez-vous, tout ce que vous pouvez faire, mes PNJ peuvent l'essayer aussi." - la devise d'un DM pour équilibrer le pouvoir des joueurs.