Quel est le nombre moyen de tours prévus pour une blessure, et comment est-il calculé avec précision ?

Question

Prenez un personnage avec une compétence de combat d10 qui fait 2d6 dégâts, et un bandit standardisé comme cible.

Le bandit a d6 dans tous les Traits et en Combat, il a donc une Parade de 5, et porte une armure de cuir pour une résistance totale de 6.

Combien de tirs en moyenne faut-il prévoir pour infliger une Blessure au bandit ?

Dans mon modèle simplifié, l'attaquant doit infliger deux coups secoués. p_hit \= 6/10, p_shaken_hit \=13/30, donc l'attaquant a besoin d'environ 4,6 rounds en moyenne.

Quelqu'un a-t-il élaboré un modèle plus complexe et en a-t-il calculé la valeur ?

Answer 1

Ce problème est assez compliqué à calculer exactement car il évolue finalement en une chaîne de Markov, dont la vitesse de convergence ne peut être déterminée de manière concluante.

Calculer les probabilités

Frapper

En supposant que le combattant n'est pas un joker, alors la chance de toucher normalement est de 4/10, et la chance d'obtenir un Relèvement est de 2/10. Comme il ne s'agit que d'un dé, le fait qu'il explose ne change rien.

Dégâts

Si on touche normalement, on fait 2D6 points de dégâts. Sur les 36 résultats possibles, 26 infligent suffisamment de dégâts pour provoquer au moins un Secoué. Parmi ceux-ci, 6 obtiennent suffisamment de dégâts pour une Blessure pure et simple, et 6 autres peuvent le faire en faisant exploser les dés (6-1, 6-2, 6-3). 6-3 y arrive toujours, 6-2 a besoin d'un 2 au moins, 6-3 d'un 3. Par conséquent, la chance totale pour une blessure directe est de :

6/36 + 2/36 + 2/36 * 5/6 + 2/26 * 4/6 = 11/36

et donc la chance de simplement Shake est de 15/36

Si nous obtenons un Relèvement, nos dégâts passent à 3D6, pour un total de 216 résultats différents (avant les explosions). 206 d'entre eux causent au moins un Shaken, 135 d'entre eux une Wound sans explosions. Il y a 9 résultats qui le font avec des explosions (6-2-1 en multiplicité 6, qui atteint toujours 10 dégâts et 6-1-1 en multiplicité 3, qui a besoin d'un 2 sur son explosion). Par conséquent, la chance totale de causer une blessure directement est de :

135/216 + 6/216 + 3/216 * 5/6 = 861/1296

Et la chance d'être simplement Shake est de 375/1296

Quand on est secoué

Chaque fois que l'adversaire est secoué, il a une chance de se rétablir avant le prochain coup. En supposant pour un moment que les tours se produisent toujours alternativement (parce que sinon, les calculs sont encore plus compliqués), en partant d'un état Secoué, il y a deux possibilités :

A) le bandit récupère avant le coup, ce qui signifie que les chances sont les mêmes qu'avant.

B) le bandit ne récupère pas, donc tout résultat qui tremble provoque une blessure.

Par conséquent,

p(Secoué->Blessure) = p(Récupération) * p(Normal->Blessure) + (1-p(Récupération)) * (p(Normal->Blessure) + p(Normal->Secoué))

p(Secoué->Secoué) = p(Récupération) * p(Normal->Secoué) + (1-p(Récupération)) * p(Normal->Normal)

p(Secoué->Normal) = p(Récupération) * p(Normal->Normal)

Avec une Volonté de D6, le bandit a 50% de chances de se rétablir, mais heureusement, il suffit de prendre la moyenne des deux résultats.

La chaîne de Markov résultante

Si nous mettons tout cela ensemble, nous obtenons un réseau de trois états dans lesquels le bandit peut se trouver à la fin d'un tour : Normal, Secoué, Blessé, et nous connaissons les probabilités de transition pour chacun :

Normal :

• à la normale : 10188/12960
• à Shaken : 786/12860 (4/10 * 15/36 + 2/10 * 375/1296)
• aux blessés : 1986/12960 (4/10 * 11/36 + 2/10 * 861/1296)

Secoué :

• à Normal : 5094/12960 (1/2 * 10188/12960)
• à Secoué : 5487/12860 (1/2 * (786 + 10188)/12960)
• à blessés : 2379/12960 (1/2 * (1986 + 1986 + 786)/12960)

Blessé :

• aux blessés : 12960/12960

Et à ce stade, malheureusement, la précision s'arrête, car la vitesse exacte à laquelle une chaîne de Markov converge vers son état stable est toujours un problème ouvert en mathématiques.

On sait cependant qu'une bonne limite supérieure est donnée par la deuxième plus grande valeur propre de la matrice de probabilité, qui est la vitesse de la décroissance exponentielle vers l'état final, avec la formule de C*λ2^n.

En plaçant cela dans la valeur moyenne d'une distribution exponentielle, on obtient une longueur moyenne de tour de -1/ln(λ2).

Numpy me donne un λ2 de 0,84292938, correspondant à une durée moyenne de 5,85233068601 tours jusqu'à ce que le bandit soit vaincu.

L'approche par la simulation

Il faut toutefois noter que cette valeur, bien que plus rigoureuse sur le plan mathématique, n'est pas beaucoup plus utile que votre calcul rapide, car les combats de Savage Worlds sont très changeants, et la variance de cette valeur est extrême. Dans environ 15% des cas, le combat se termine au premier coup, par exemple.

Et étant donné que la vitesse de convergence correcte de la chaîne de Markov devrait être simulée pour commencer, à ce stade, il serait plus facile de simuler l'ensemble du combat, y compris la riposte du bandit. Ce que, heureusement, Zadmar a fait : http://www.godwars2.org/SavageWorlds/combat2.html

Introduire les 2 Statblocks suivants :

NWD,Wnd0,Ben0,BenNU,BenNS,Fi10,Name:Fighter

y

NWD,Wnd0,Ben0,BenNU,BenNS,Fi6,Nom:Bandit,Arm1

nous donne le résultat :

Il y a eu 10000 combats. Le combattant a gagné 8121 d'entre eux, tandis que le bandit en a gagné 1879. Le combat le plus court a duré 1 round, tandis que le plus long a duré 22 rounds. La durée moyenne d'un combat était de 2 rounds.