Probabilités des dés lorsqu'on lance plus de dés que nécessaire

Question

J'ai une question très similaire à Utiliser AnyDice pour déterminer les chances d'obtenir une séquence de chiffres spécifique sur plusieurs dés.

Je veux savoir quelles sont les chances de jeter un 1, 2, 3 sur 4d6. Ou d'obtenir un 3 et un 4 sur 2d6 contre les deux mêmes résultats sur 3d6.

Answer 1

Nous allons prétendre que nous avons k s -et nous essayons de trouver la probabilité d'obtenir n spécifique différents les résultats. Au premier jet de dé, nous avons un n/s chance d'obtenir le nombre dont nous avons besoin et un (s-n)/s on risque de recevoir un numéro dont on n'a pas besoin. Lorsque nous obtenons un numéro dont nous avons besoin, nous cherchons à obtenir n-1 les chiffres dont nous avons besoin sur k-1 dés différents. Lorsque nous obtenons un nombre dont nous n'avons pas besoin, nous cherchons toujours à obtenir n mais avec k-1 Il reste des dés à lancer. La probabilité d'obtenir n = 0 les résultats sont toujours 1 quel que soit le nombre de dés. La probabilité d'obtenir d'autres résultats lorsqu'il n'y a plus de dés ( k = 0 ) est 0 .

prob s k 0 = 1
prob s 0 n = 0
prob s k n = (n*(prob s (k-1) (n-1)) + (s-n)*(prob s (k-1) n))/s

Nous pouvons faire un tableau pour les calculer pour s = 6 dés à facettes.

  0   1        2        3       4      5 6 n
0 1   0        0        0       0      0 0
1 1   1/6      0        0       0      0 0
2 1  11/36     2/36     0       0      0 0
3 1  91/216   30/216    6/216   0      0 0 
4 1 671/1296 302/1296 108/1296 24/1296 0 0
.
.
.
k

Les problèmes qui vous intéressent sont d'obtenir n=2 résultats spécifiques différents avec k=2 dés qui a une probabilité de 2/36 en obtenant n=2 résultats spécifiques différents avec k=3 dés, qui a une probabilité de 30/216 et obtenir n=3 résultats spécifiques différents avec k=4 dés, qui a une probabilité de 108/1296 .

Il existe probablement une formule non récursive plus simple basée sur la fonction factorielle.

Nous pouvons vérifier la formule ci-dessus avec des arguments de comptage.

Pour obtenir un 3 et un 4 qui roule 2d6 il y a 1 combinaison de dés qui fonctionnera. Nous ne nous soucions pas de savoir si nous lançons le 3 en premier ou le 4 en premier, donc il y a 2! = 2*1 = 2 les ordres que nous pouvons rouler la combinaison dans. 2 de la 6^2 La probabilité d'obtenir un 3 et un 4 sur un jet d'argent est la même que celle d'obtenir un 3 et un 4 sur un jet d'argent. 2d6 es 2/36 o 1/18 .

On peut faire un tableau de toutes les façons de lancer un 3 et un 4 sur 2 les dés et les compter pour s'assurer que c'est correct

3 4    1 way
4 3    1 way  
       2 ways

2 les moyens de sortir de 36 lancez un 3 et un 4.

Il y a plus de façons de lancer un 3 et un 4 que de lancer deux 3. Il n'y a qu'une seule façon de lancer deux 3. Si nous changeons l'ordre dans lequel nous lançons les dés, cela n'ajoute pas une autre façon d'obtenir deux 3. Cela aura de l'importance lorsque nous ajouterons des dés supplémentaires.

3 3    1 way
3 3    0 ways! We already counted this.
       1 way

Écrivons toutes les façons dont nous pouvons obtenir un 3 et un 4 sur 3d6 . Nous utiliserons * pour désigner tout résultat qui n'est ni un 3 ni un 4 (il y a 4 possible de tels résultats : 1, 2, 5, et 6)

3 4 *    4 ways
3 4 3    1 way
3 4 4    1 way
4 3 *    4 ways
4 3 3    1 way
4 3 4    1 way
3 * 4    4 ways
3 3 4    1 way
3 4 4    0 ways! We already counted this.
4 * 3    4 ways
4 3 3    0 ways! We already counted this.
4 4 3    1 way
* 3 4    4 ways
3 3 4    0 ways! We already counted this.
4 3 4    0 ways! We already counted this.
* 4 3    4 ways
3 4 3    0 ways! We already counted this.
4 4 3    0 ways! We already counted this.
         30 ways

Quand l'un des résultats n'est pas un 3 ou un 4, c'est facile, il y a 4 combinaisons qui peuvent être dans 3! = 3*2*1 = 6 ordres. Lorsque tous les résultats comportent un 3 ou un 4, l'un des numéros est répété. Au lieu d'avoir 2 combinaisons qui peuvent être dans 3! = 3*2*1 = 6 la moitié des commandes sont des doublons, il y a donc seulement 30=6*4+2*3 La probabilité d'obtenir un 3 et un 4 sur un jet d'argent est la même que celle d'obtenir un 3 et un 4 sur un jet d'argent. 3d6 est donc 30/6^3 o 5/36 .

Compter les résultats pour vérifier des problèmes plus importants est fastidieux. Ce raisonnement conduit à une formule récursive impliquant la factorielle qui n'est pas plus simple que la formule récursive avec laquelle nous avons commencé.

Answer 2

Puisque vous l'avez étiqueté avec anydice voici une simple fonction AnyDice pour calculer cela :

function: SUB:s in SEQ:s {
  loop N over SUB {
    if (N = SUB) > (N = SEQ) { result: 0 }
  }
  result: 1
}
output [{1,2,3} in 4d6] named "1,2,3 in 4d6"
output [{1,2,2} in 4d6] named "1,2,2 in 4d6"
output [{3,4} in 2d6] named "3,4 in 2d6"
output [{3,4} in 3d6] named "3,4 in 3d6"

La fonction [SUB in SEQ] prend deux séquences, et retourne 1 si la première est un sous-ensemble de la seconde, et 0 sinon. Appliquée aux dés, elle renvoie donc un dé biaisé exprimant la probabilité que le premier lancer de dé (ou séquence fixe, comme dans les exemples ci-dessus) soit un sous-ensemble du second.

Answer 3

Le Cirdec a donné une équation récursive pour trouver la probabilité de lancer k dés à s faces et d'obtenir n résultats spécifiques différents. Voici une méthode plus intuitive pour obtenir les mêmes réponses (similaire aux diagrammes d'arbres de probabilité) [1] [2] ) :

Obtenir au moins un résultat de 1, 2, et 3 sur 4d6 = 1/12

Vous avez un dé supplémentaire qui n'a pas besoin d'être un de ces nombres. Je dirais que vous avez un dé qui peut " échouer ".

Il y a donc 4 façons différentes d'obtenir le résultat souhaité : le premier jet échoue et les autres réussissent, le second échoue et les autres réussissent, le troisième échoue et les autres réussissent, ou les trois premiers jets réussissent (le quatrième "échoue" car il n'y a plus de chiffres à faire correspondre).

Les probabilités pour ces scénarios sont indiquées ci-dessous. Pour chaque lancer de dé, la probabilité d'un résultat est déterminée par le nombre de chiffres restant à trouver et le nombre de faces du dé. Ces probabilités sont ensuite multipliées pour obtenir la probabilité de cette série de lancers. Nous allons ensuite additionner ces quatre valeurs pour obtenir la probabilité du succès global.

• Le 1er jet échoue : 3/6 (échec du 1er jet) * 3/6 (réussite du 2ème jet) * 2/6 (réussite du 3ème jet) * 1/6 (réussite du 4ème jet) = 18/1296

• Le 2ème jet échoue : 3/6 (1er jet réussi) * 4/6 (2ème jet échoué) * 2/6 (3ème jet réussi) * 1/6 (4ème jet réussi) = 24/1296

• Le 3ème jet échoue : 3/6 (1er jet réussi) * 2/6 (2ème jet réussi) * 5/6 (3ème jet échoué) * 1/6 (4ème jet réussi) = 30/1296

• Tous réussissent : 3/6 (1er jet réussi) * 2/6 (2ème jet réussi) * 1/6 (3ème jet réussi) * 6/6 (4ème jet échoué) = 36/1296

La probabilité globale de succès est donc de (18 + 24 + 30 + 36)/1296 = 108/1296 = 1/12.

Notez que nos quatre probabilités étaient

• 3/6 * (3/6 * 2/6 * 1/6)
• 4/6 * (3/6 * 2/6 * 1/6)
• 5/6 * (3/6 * 2/6 * 1/6)
• 6/6 * (3/6 * 2/6 * 1/6)

Ce modèle tiendra lorsque nous n'aurons qu'un seul dé supplémentaire. Il deviendra plus compliqué avec des dés supplémentaires.

Obtenir au moins un résultat de chacun des 3 et 4 sur 3d6 = 5/36

En suivant la même logique, nous avons trois scénarios de réussite possibles :

• Le 1er jet échoue : 4/6 (échec du 1er jet) * 2/6 (réussite du 2ème jet) * 1/6 (réussite du 3ème jet) = 8/216

• Le 2ème jet échoue : 2/6 (1er jet réussi) * 5/6 (2ème jet échoué) * 1/6 (3ème jet réussi) = 10/216

• Tous réussissent : 2/6 (1er jet réussi) * 1/6 (2ème jet réussi) * 6/6 (3ème jet échoué) = 12/216

La probabilité globale de succès est donc de (8 + 10 + 12)/216 = 30/216 = 5/36.

Encore une fois, vous pouvez voir le même schéma avec un dé supplémentaire :

• 4/6 * (2/6 * 1/6)
• 5/6 * (2/6 * 1/6)
• 6/6 * (2/6 * 1/6)

Answer 4

Quatre résultats possibles.

La chance de réussite au premier dé est de \$$. \frac {ou \frac {1}{2}\N-$. 1, 2 ou 3.

Les chances de succès du second dé sont de \$$. \frac {2}{6}\i1}-, ou \N- \frac {1}{2}\$. Les deux qui restent.

Les chances de succès du dernier dé sont de \$$. \frac {1}{6}\$. Quel que soit le dernier.

Les trois premiers dé réussissent. \$ \frac {1}{2} \times \frac {1}{3} \times \frac {1}{6} \times\ $ (\$ \frac {6}{6}\$, je m'en fous)

Le premier dé échoue. \$ \frac {1}{2} \times ( \frac {1}{2} \times \frac {1}{3} \times \frac {1}{6})\$

Le deuxième dé échoue. \$ \frac {1}{2} \times \frac {2}{3} \times \frac {1}{3} \times \frac {1}{6}\$. \$ \frac {2}{\i1}C'est la chance que vous avez{\i} Ne le fais pas. obtenir un succès.

Le troisième dé échoue. \$ \frac {1}{2} \times \frac {1}{3} \times \frac {5}{6} \times \frac {1}{6}\$. \$ \frac {5}{6}\i1}C'est la probabilité que vous Ne le fais pas. obtenir un succès.

Sum : \$ \frac {1}{36} + \frac {1}{72} + \frac {2}{108} + \frac {5}{216} = \frac {5}{216} + \frac {4}{216} + \frac {3}{216} + \frac {6}{216}= \frac {18}{218} = \frac {1}{12}\$

3 et un 4 sur 2d6, c'est tout ce qu'il y a à faire. \frac {2}{6} \times \frac {1}{6} = \frac {2}{36} = \frac {1}{18}\$

1, 2, et 3 avec un 3d6 est un \$$. \frac {1}{2} \times \frac {1}{3} \times \frac {1}{6} = \frac {1}{36}\$

3 et un 4 sur 3d6 = \$. \frac {1}{3} \times \frac {1}{6} \times \frac {6}{6} + \frac {1}{3} \times \frac {5}{6} \times \frac {1}{6} + \frac {2}{3} \times \frac {1}{3} \times \frac {1}{6} = \frac {1}{18} + \frac {5}{108} + \frac {2}{54} = \frac {6}{108} + \frac {5}{106} + \frac {4}{108} = \frac {15}{108} = \frac {5}{36}\$

Answer 5

En lançant un 1,2,3 sur 4d6

Vous voulez 3 valeurs particulières (peu importe ce qu'elles sont) sur 4 dés : il faut 3 dés pour porter ces valeurs - l'autre n'a pas d'importance. Imaginez que vous alignez les dés dans l'ordre - 3 sont placés ((3x2x1)=5 sur 216 chances) et les autres dés peuvent être dans n'importe laquelle des 4 positions, donc (4x5)=20 sur 216 ou 5 sur 54.

obtenir un 3 et un 4 sur 2d6 contre les 2 mêmes résultats sur 3d6

Encore une fois, 2 valeurs particulières . Sur 2 dés (2x1)=2 en 36 ; sur 3 dés (3x2)=6 en 36 ou 1 en 6.