Comment puis-je tester si un dé est juste ?

Question

Comment puis-je déterminer si c'est vraiment de la chance, ou si le dé est en fait injustement biaisé ?

*) Eh bien, je ne le fais pas, vraiment. C'est en fait un spin-off de cette question qui vise spécifiquement à déterminer si un dé est chargé . Celle-ci se veut une question plus générale sur la manière de détecter tout une sorte de biais dans les dés, puisque nous n'en avons apparemment pas encore. J'ai posté ma propre réponse ci-dessous, mais n'hésitez pas à en ajouter d'autres.

Answer 1

Quels types de préjugés peuvent avoir les dés ?

Beaucoup de sortes, en fait. Les types de préjugés accidentels les plus courants sont peut-être les suivants :

• Les dés "rasés", qui ne sont pas tout à fait symétriques, mais légèrement plus larges ou plus étroits sur un axe que sur les autres. Un dé rasé avec, par exemple, les axes 1 à 6 plus longs que les autres, roulera moins souvent sur ces côtés, ce qui le rendra "moins oscillant" qu'un dé normal ne devrait l'être (mais le résultat moyen restera inchangé). Le nom vient du fait que les tricheurs rasent ou poncent les dés pour les aplatir, mais les dés bon marché peuvent avoir ce genre de biais simplement parce qu'ils sont mal faits. D'autres biais similaires dus à une forme asymétrique sont également possibles, notamment pour les dés à plusieurs faces.

• Les faces inégales (concaves / convexes) peuvent être plus ou moins susceptibles de "coller" à la table, favorisant ou défavorisant le côté opposé. L'effet précis peut dépendre du matériau de la table et de la façon dont les dés sont lancés. Encore une fois, les dés en plastique bon marché peuvent facilement présenter ce type de biais, par exemple en raison de la rétraction inégale du plastique lors du refroidissement après le moulage. Inégal bords peut également créer un biais, en particulier si le bord est asymétrique (c'est-à-dire plus net d'un côté).

• Les dés "chargés", c'est-à-dire les dés dont le centre de gravité est décalé par rapport à leur centre géométrique, peuvent se produire accidentellement en raison de bulles piégées dans le plastique ou, plus couramment, simplement parce que les chiffres en relief sur les côtés du dé affectent l'équilibre. En fait, presque todo Les dés, à l'exception des dés de casino de haute qualité délibérément équilibrés pour éviter ce type de biais, sont susceptibles d'en être affectés dans une certaine mesure.

Comment puis-je savoir si un dé est juste ?

Évidemment, vous devez le rouler . De préférence, vous devez procéder de la même manière, sur le même type de table, que celle que vous utiliseriez dans un jeu ; si les dés vraiment équitables doivent l'être sur n'importe quelle surface, certains types de biais peuvent n'apparaître que sur certaines surfaces.

Lancez le même dé plusieurs fois et comptez combien de fois chaque côté sort. Si vous avez un ami pour vous aider, vous pouvez lui demander de compter les lancers au fur et à mesure que vous les énoncez, afin que vous n'ayez pas à alterner entre lancer et noter les résultats en permanence. Lorsque votre bras en a assez de lancer des dés, changez de rôle.

Combien de fois devez-vous rouler ?

Pour le type de test statistique décrit ci-dessous ( Le "Pearson's \$ \chi ^2\$ test ), une règle empirique commune est d'avoir au minimum cinq fois plus lancent autant de rouleaux qu'il y a de faces sur le dé. Ainsi, pour un d20, il faut au moins 100 rouleaux pour que le test soit valide. (Il y a autres tests statistiques qui peuvent être utilisés avec moins de rouleaux, mais ils nécessitent des calculs légèrement plus compliqués). Il est évident qu'un plus grand nombre de lancers ne fera pas de mal si vous avez la patience de le faire, et plus vous comptabiliserez de lancers, mieux le test détectera les biais subtils.

(Note : Si vous avez, par exemple, acheté un grand nombre de d6 bon marché pour lancer de grandes quantités de dés, il est possible d'utiliser les d6 à la place des d6. peut Il serait bon de les rouler tous ensemble et de compter le nombre de fois où chaque visage apparaît. Bien sûr, de cette manière, vous ne pourrez pas détecter si l'un des dés a, disons, un peu plus de chances d'obtenir un 6, alors qu'un autre a un peu plus de chances d'obtenir un 5. moins susceptible de le rouler, mais vous détecterez quand même toute systématique les biais dus au fait que, par exemple, tous les dés ne sont pas symétriques de la même façon).

OK, j'ai lancé le dé 100 fois. Et maintenant ?

Maintenant, il est temps de faire des calculs.

1. Tout d'abord, regardez le décompte du nombre de fois où chaque côté est apparu. Ci-dessous, j'appellerai le nombre de fois où le côté 1 est sorti \$n_1\$, le nombre de fois où le côté 2 est sorti \$n_2\$, et ainsi de suite jusqu'à \$n_{20}\$ pour un d20. J'utiliserai également N pour désigner le nombre total de lancers, c'est-à-dire N = n_1 + n_2 + n_3 + n_4. \dots + n_{20}\$.

2. Ensuite, calculez le attendu nombre de fois que chaque côté aurait dû sortir pour un dé équitable, c'est-à-dire le nombre total de lancers divisé par le nombre de côtés. 1 (Il n'y a pas de problème à ce que ce soit un nombre fractionnaire.) Appelez ce nombre : \$n_{{\i0}. \exp }\$. Par exemple, pour N = 100 jets d'un d20, N \exp } = \frac {N}{20} = 5\$.

3. Maintenant, pour chaque côté k (de 1 à 20, pour un d20), calculez les différence entre le nombre réel et le nombre attendu de fois où le côté s'est levé, mettez-le au carré (c'est-à-dire multipliez-le par lui-même) et divisez-le par le nombre attendu. C'est-à-dire, calculer :

   $$ \chi ^2_k = \frac { \left ( n_k - n_{ \exp } \right ) ^2}{n_{ \exp }}$$

   pour chaque nombre possible \$k\$ de votre dé (c'est-à-dire de \$k = 1\$ à \$k = 20\$, pour un d20). 2

4. Enfin, additionnez tous les résultats de l'étape précédente pour obtenir la statistique de test $$$. \chi ^2 = \chi ^2_1 + \chi ^2_2 + \dots + \chi ^2_{20} = \sum_ {k=1}^{20} \frac { \left ( n_k - n_{ \exp } \right ) ^2}{n_{ \exp }}.$$

OK, j'ai trouvé ça. \chi ^2\$ figure. Que dois-je en faire ?

Les \$$ \chi La valeur de ^2\$ que vous avez calculée est une mesure de la partialité apparente du dé, sur la base des nombres que vous avez lancés avec lui. Mais ce qui compte comme une valeur raisonnable de ^2$ \chi ^2\$, et où est le seuil à partir duquel vous devriez commencer à vous méfier ?

Pour cela, vous devez soit faites d'autres calculs ou, plus facilement, simplement chercher dans un tableau.

Pour utiliser cette table, il faut d'abord savoir combien de "degrés de liberté" possède notre test. C'est plus simple que cela n'en a l'air : pour un dé à \$d\$ faces, le test a \$d\$. \nu = d - 1\$ degrés de liberté (c'est à dire \$ \nu = 19\$ pour un d20). 3 Cela vous indiquera la ligne du tableau à examiner.

Dans le tableau ci-dessus, la ligne 19 ressemble à ceci :

                Probability less than the critical value
             0.90      0.95     0.975      0.99     0.999
----------------------------------------------------------
 19         27.204    30.144    32.852    36.191    43.820

Qu'est-ce que cela signifie ? Eh bien, ça veut dire que, si le dé est en fait juste, alors \chi ^2\$ sera inférieur à 27,204 dans 90% des tests, inférieur à 30,144 dans 95% des tests, et ainsi de suite. Ce n'est qu'une fois sur un millier de tests qu'un d20 juste produira réellement un ^2\$. \chi La valeur de ^2\$ est supérieure à 43.820.

Ainsi, en comparant \$ \chi ^2\$ aux valeurs critiques du tableau, vous pouvez estimer la probabilité qu'elle soit biaisée. 4 Si \chi ^2 \le 27\$, le dé n'a probablement pas de biais, ou du moins vous n'avez pas compté assez de rouleaux pour le détecter ; autour de \$. \chi ^2 \ge A peu près 30$, vous puede il faut s'inquiéter, et peut-être mettre le dé de côté pour des tests plus poussés ; si \chi ^2 \ge 40$, vous pouvez déclarer que le dé est biaisé avec une assez grande confiance.

Notez que le test du chi-deux ne no dire quoi que ce soit sur comment le dé est biaisé : un dé qui, par exemple, obtient 10 plus souvent et 11 moins souvent qu'il ne le devrait a autant de chances d'échouer au test qu'un dé qui obtient 20 plus souvent et 1 moins souvent. Bien sûr, si le test du chi carré détecte un biais, vous pouvez simplement regarder vous-même les décomptes pour voir lesquels se produisent plus souvent que prévu.

Ps. Pour plus de commodité, voici les rangées de tables pour quelques autres types de dés couramment utilisés : 5

Upper-tail critical values of ² distribution with  degrees of freedom (source: NIST)

                Probability less than the critical value
             0.90      0.95     0.975      0.99     0.999
----------------------------------------------------------
  1 (d2)     2.706     3.841     5.024     6.635    10.828
  2 (d3)     4.605     5.991     7.378     9.210    13.816
  3 (d4)     6.251     7.815     9.348    11.345    16.266
  5 (d6)     9.236    11.070    12.833    15.086    20.515
  7 (d8)    12.017    14.067    16.013    18.475    24.322
  9 (d10)   14.684    16.919    19.023    21.666    27.877
 11 (d12)   17.25    19.675    21.920    24.725    31.264
 19 (d20)   27.204    30.144    32.852    36.191    43.820

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Notes de bas de page :

1) Pour un dé ordinaire, le nombre attendu de fois que chaque côté sort est évidemment le même, mais nous podría utiliser le test du chi-deux également pour les dés que nous Ne le fais pas. s'attendre à ce que chaque chiffre apparaisse aussi souvent (comme, par exemple, les dés où le même chiffre apparaît plusieurs fois). Dans ce cas, nous aurions simplement un ``n_{{{{}} différent. \exp {y:i}pour chaque lancer possible du dé.

2) Je n'ai pas connaissance d'un symbole conventionnel pour ces valeurs intermédiaires, mais \chi ^2_k\$ semble être un choix raisonnable, étant donné à la fois qu'ils s'ajoutent à la statistique de test \$. \chi ^2\$, et que chacune d'entre elles est le carré d'une variable aléatoire (approximativement) normalement distribuée, et est donc elle-même \$ \chi ^2\$-distribué . Votre texte statistique préféré, s'il se soucie de leur donner un symbole, peut utiliser autre chose.

3) Le nombre de degrés de liberté est essentiellement le nombre de valeurs dans nos mesures qui peuvent varier indépendamment. Ici, nous mesurons 20 valeurs, de \$n_1\$ à \$n_{20}\$, mais elles ne sont pas tout à fait indépendantes : nous savons que \$n_1 + n_2 + \dots + n_{20} = N\$, donc une fois que nous connaissons 19 des valeurs, nous pouvons calculer la dernière en fonction des 19 autres. D'où les 19 degrés de liberté.

4) Notez que les chiffres de l'en-tête du tableau donnent la probabilité qu'un dé parfaitement juste produise un \$. \chi ^2\$ supérieure à la valeur critique de cette colonne. Cette valeur est no est la même que la probabilité qu'un dé avec un \$. \chi ^2\$ inférieur à la valeur critique est juste, ou qu'un dé avec ^2\$ \chi ^2\$ supérieure à la valeur critique est biaisée ; pour calculer ces probabilités, il faudrait d'abord connaître la a priori la fréquence des biais parmi vos dés. En effet, dans un certain sens, ces questions n'ont même pas de sens si on les pose : vraiment les dés justes n'existent que dans le royaume platonique des idées, et chaque réel La mort a certainement un peu de biais, si vous le mesurez assez soigneusement. Ainsi, dans un sens, tout prétendre qu'un dé donné est équitable est faux ; tout ce que nous pouvons dire, c'est qu'il est assez proche pour que nous ne puissions pas faire la différence.

5) Un "d2" est, bien sûr, une pièce de monnaie. Utilisez la colonne "d3" (\$) \nu = 2\$) par exemple pour les dés Fudge.

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Addendum : Alors, de combien de rouleaux avons-nous besoin pour détecter réellement les dés biaisés ? Eh bien, j'ai fait quelques tests de simulation rapides, en utilisant une extrêmement d20 virtuel biaisé qui jamais obtient un 1, et obtient 20 deux fois plus souvent qu'il ne devrait. En utilisant les différents \$ \chi ^2\$ seuils donnés dans le tableau ci-dessus, et de divers nombres de rouleaux de test, du minimum de 100 jusqu'à 400, voici la fraction des runs sur lesquels le \$$ \chi La valeur de ^2\$ a dépassé le seuil :

                   Probability of passing a fair die
          |   0.90      0.95      0.975     0.99     0.999
Rolls     +-----------------------------------------------
          |        Probability of detecting the bias
100       |   0.50      0.37      0.26      0.17     0.054
200       |   0.89      0.80      0.69      0.55     0.28
300       |   0.9932    0.972     0.938     0.87     0.62
400       |   0.9999    0.9992    0.9961    0.985    0.88

Dans chaque cas, la probabilité de détecter faussement un biais dans un dé juste est essentiellement indépendante du nombre de lancers - il s'agit d'une caractéristique délibérée du \$$. \chi Test ^2\$. La probabilité de correctement détecter le dé biaisé, cependant, augmente de manière significative avec plus de rouleaux.

D'après le tableau ci-dessus, on peut voir que 100 rouleaux (le nombre minimum pour le \$$ \chi ^2\$ pour être même valide) est bien trop faible pour détecter un biais aussi flagrant : même si nous fixons le test \$ \chi Si le seuil est si bas que nous finissons par rejeter 10 % de tous les dés équitables, nous n'attrapons toujours qu'environ 50 % des dés biaisés, et cela ne fait qu'empirer à mesure que nous augmentons le seuil.

En revanche, avec 400 rouleaux, les choses se présentent beaucoup mieux : en fixant le seuil à \$. \chi ^2 \le 36,191 °$, 99% de tous les dés équitables réussiront ce test, tandis qu'environ 98,5% de tous les dés biaisés de ce test l'échoueront. (Bien sûr, on parle toujours de très dés fortement biaisés ici ; un biais plus subtil sera plus difficile à détecter).

OK, mais sûrement un dé qui jamais les rouleaux 1 devraient être facile à repérer ? Après tout, avec un d20 juste, la probabilité de lancer 100 fois le dé et de ne jamais voir un 1 n'est que de 0,5 %. \left ( \frac {19}{20} \right )^{100} \approx 0.006\$. Cela ne devrait-il pas être abondance de raison de considérer que le dé est biaisé ? Qu'est-ce que ça donne ?

Eh bien, l'une des raisons pour lesquelles les \N \chi ^2\$ le test semble si inefficace ici est qu'il recherche tout une sorte de parti pris. Bien sûr, si nous lançons un d20 une centaine de fois, et que nous ne voyons jamais un 1, nous pourrions être soupçonneux à juste titre. Mais que se passe-t-il si nous ne voyons jamais un 7, ou un 15, ou n'importe quel autre résultat possible ? Est-ce que ces également être une raison de dire que le dé est biaisé ?

Eh bien, il s'avère que, même si la probabilité de ne jamais obtenir un résultat de 1 sur 100 sur un d20 n'est que d'environ 0,6 %, la probabilité de ne jamais obtenir un résultat de 1 sur 100 sur un d20 est de 0,5 %. un peu de est environ 20 fois plus élevé, soit environ 12 %. Donc, si nous rejetons tous les dés à 20 faces qui n'ont jamais obtenu un certain nombre sur 100 lancers, nous finirons par rejeter également environ 12 % de tous les dés équitables. Et, bien sûr, il existe également de nombreux autre les types de préjugés possibles que l'on peut avoir. \chi Le test ^2\$ le détectera également ; ainsi, avec seulement 100 rouleaux, il est en fait assez probable de détecter un peu de même dans un d20, c'est parfaitement juste, et nous devons donc fixer la valeur du seuil assez haut pour compenser.

Si nous étions uniquement Si nous nous intéressons au biais affectant les rouleaux les plus extrêmes (1 et 20), nous pourrions modifier le \$. \chi ^2\$ pour regrouper, par exemple, tous les rouleaux compris entre 2 et 19 dans une seule et même catégorie, avec \$n_{{catégorie}. \exp } = \frac {18 \times N}{20}\$, et utiliser le \$$ \chi ^2\$ pour deux degrés de liberté (puisque nous n'avons plus que trois résultats possibles : 1, 20, ou autre chose). Un tel \$$ modifié \chi Le test de ^2\$ est un lot Plus de la moitié des dés biaisés échouent au test au taux de 1 % de faux positifs, même avec seulement 100 lancers, et plus de 99,99 % d'entre eux échouent avec 200 lancers.

Bien sûr, le prix à payer pour ce pouvoir discriminatoire supplémentaire est que ce test modifié sera complètement inconscient à la plupart autre de biais - par exemple, il passera volontiers un dé qui n'obtient jamais un 2 et que les rouleaux 19 deux fois plus souvent qu'il ne le devrait.

Answer 2

Un moyen rapide de voir s'il y a des irrégularités dans le poids est le test de la balle de golf.

1. Faites flotter le dé dans un verre d'eau, et attendez que l'eau se tasse.
2. Notez quelle face est en haut.
3. Agitez l'eau, ce qui fait que le dé est en mouvement.
4. Attendez que l'eau soit à nouveau calme.
5. Si la même face est en haut, le dé n'est pas équilibré.

Pour la formation d'irrégularités, vous aurez probablement besoin d'un micromètre.