Je suis conscient que vous n'avez pas demandé une réponse basée sur les mathématiques, et Ilmari a déjà fait un merveilleux travail, mais j'ai décidé d'en fournir une quand même, car à mon avis, l'approche mathématique est l'une des meilleures stratégies pour généraliser et elle permet d'utiliser les résultats dans d'autres contextes.
La solution consiste à utiliser les statistiques de l'ordre.
Lorsque l'on a affaire à des mécanismes d'avantage/désavantage, il faut tenir compte de la bien-aimée statistique de commande . Les formules sont données ci-dessous, tandis qu'au bas de cette réponse, je fournis les détails mathématiques.
Étant donné deux jets d'un dé avec \$d\$ visages, \$X_{(2)}\$ désigne le résultat du roulement avec avantage et \$X_{(1)}\$ le résultat du roulement avec le désavantage. Le site valeur attendue sont respectivement, $$ { \rm E}[X_{(2)}] = \frac23d + \frac12 - \frac {1}{6d}, \quad { \rm E}[X_{(1)}] = \frac13d + \frac12 + \frac {1}{6d} $$ qui donnent les mêmes résultats que ceux d'Ilmari réponse . Le graphique ci-dessous illustre le comportement de ces fonctions pour des dés ayant un nombre arbitraire de côtés ; le cas de \$d=20\$ est mis en évidence. Notez que \${ \rm E}[X_{(2)}]\$ y \${ \rm E}[X_{(1)}]\$ sont no fonctions linéaires du nombre de faces, mais, d'un autre côté, pour de grandes \$d\$ le dernier terme ( \$1/(6d)\$ ) est proche de 0.
![Plot of the expected values.]()
En désignant par \$X\$ le résultat d'un jet direct d'un dé avec \$d\$ les valeurs attendues des différences entre le roulement avec adv/disadv peuvent être calculées comme suit $$ { \rm E}[X_{(2)}-X]= \frac {d^2-1}{6d}, \quad { \rm E}[X_{(1)}-X]= \frac {1-d^2}{6d} $$ Ces différences sont strictement supérieures à 1 (en valeur absolue) pour \$d>6.16\$ comme le montre le tableau d'Ilmari. En gros, lorsque \$d=6k\$ ( c'est-à-dire lorsque le nombre de faces est un multiple de 6), alors la différence entre le rouleau droit moyen se comporte comme \$ \pm k\$ selon que vous envisagez de faire de l'adv ou du disadv. Lorsque le dé a un nombre de faces qui n'est pas un multiple de 6, alors, selon la façon dont on considère l'adv ou le dis. résultats approximatifs (plancher, plafond ou arrondi), vous pouvez envisager une différence supérieure ou inférieure. Par exemple, pour \$d=20\$ la différence est de 3,325, ce que vous pouvez considérer comme étant \$ \pm\ $ 3 (opération au sol ou ronde) ou \$ \pm\ $ 4 (fonctionnement au plafond).
Il est intéressant de noter que la fonction décrivant la valeur attendue d'un lancer direct est la moyenne des deux fonctions décrivant la valeur attendue d'un lancer avec adv/disadv : $$ \begin {eqnarray} { \rm E}[X] &=& \frac12d + \frac12\\ &=& \frac12\left ( \frac23d + \frac12 - \frac {1}{6d} + \frac13d + \frac12 + \frac {1}{6d} \right ) \\ &=& \frac12\left ({ \rm E} [X_{(2)}] + { \rm E}[X_{(1)}] \right )& \end {eqnarray} $$
Détails mathématiques
Considérons un dé équitable avec \$d\$ faces : puisque le résultat d'un tel dé suit une distribution uniforme discrète, la chance d'obtenir le résultat \$x\$ est donné par le fonction de densité de probabilité (pdf) \$f(x)= \displaystyle\frac {1}{d}\$ et le fonction de distribution cumulative (cdf) de \$x\$ es \$F(x)= \displaystyle\frac {x}{d}\$ . Rappelons que le cdf \$F(x)\$ fournit la probabilité d'obtenir un résultat inférieur ou égal à \$x\$ .
Avantage
Désignez par \$X_{(2)}\$ le résultat maximal de deux lancers de dé : en utilisant le formule pour une distribution discrète, la probabilité d'être \$x\$ (le résultat le plus élevé) est donné par \$^1\$ $$ \begin {eqnarray} P(X_{(2)}=x)&=& F(X)^2-(F(x)-f(x))^2 \\ &=& 2f(x)F(X)-f(x)^2 \end {eqnarray} $$ En substituant les formules pour le cdf et le pdf et après un peu d'algèbre, on obtient que $$ P(X_{(2)}=x) = \frac {2x-1}{d^2} $$ Il est maintenant possible de calculer la valeur attendue : $$ \begin {eqnarray} { \rm E}[X_{(2)}] &=& \sum_ {x=1}^dxP(X_{(2)}=x) \\ &=& \frac {1}{d^2} \left ( 2 \sum_ {x=1}^dx^2 - \sum_ {x=1}^dx \right ) \\ &=& \frac23d + \frac12 - \frac {1}{6d} \end {eqnarray} $$ où nous avons utilisé le fait que $$ \displaystyle\sum_ {x=1}^dx^2= \frac {d^3}{3}+ \frac {d^2}{2}+ \frac {d}{6}, \quad \displaystyle\sum_ {x=1}^dx= \frac {d^2+d}{2} $$ Cette formule donne les mêmes résultats que ceux indiqués dans la réponse d'Ilmari. Maintenant, calculez la valeur attendue de la différence entre le roulement avec avantage et le roulement normal, notée avec \$X\$ : $$ \begin {eqnarray} { \rm E} [X_{(2)}-X] &=& { \rm E}[X_{(2)}] -{ \rm E}[X] \\ &=& \frac23d + \frac12 - \frac {1}{6d}- \frac {d}{2}- \frac12\\ &=& \frac {d}{6} - \frac {1}{6d} \\ &=& \frac {d^2-1}{6d} \end {eqnarray} $$
Désavantage
En utilisant la même formule que dans le cas précédent, on peut calculer la valeur attendue \$^1\$ de \$X_{(1)}\$ qui est le résultat du roulement avec désavantage : $$ P(X_{(1)}=x) = f(x)^2+2f(x)-2f(x)F(x) $$ Puis $$ P(X_{(1)}=x) = \frac {1-2x}{d^2} + \frac {2}{d} $$ ce qui conduit à $$ \begin {eqnarray} { \rm E}[X_{(1)}] &=& \displaystyle\sum_ {x=1}^dxP(X_{(1)}=x) \\ &=& - \frac {2}{d^2} \displaystyle\sum_ {x=1}^dx^2 + \left ( \frac {1}{d^2}+ \frac {2}{d} \right ) \sum_ {x=1}^dx \\ &=& \frac13d + \frac12 + \frac {1}{6d} \end {eqnarray} $$ La valeur attendue de la différence entre un jet direct et un jet avec désavantage est de $$ \begin {eqnarray} { \rm E} [X_{(1)}-X] &=& { \rm E}[X_{(1)}] -{ \rm E}[X] \\ &=& \frac13d + \frac12 + \frac {1}{6d}- \frac {d}{2}- \frac12\\ &=& - \frac {d}{6} + \frac {1}{6d} \\ &=& \frac {1-d^2}{6d} \end {eqnarray} $$
\$^1\$ Le calcul est laissé comme un exercice pour le lecteur.
