Comme vous l'avez noté, ce n'est pas clair. Cela signifie que c'est la décision de DM.
Il y a un grand nombre de points dans les règles de 5e qui ne sont pas entièrement clairs. Il est explicitement prévu que le DM décide de ces choses à sa table. C'est juste une des caractéristiques du système de jeu - ils encouragent activement les décisions et les règles internes à la table.
Ceci étant dit...
C'est dans un livre publié. Nous pouvons raisonnablement supposer que le libellé est conforme à l'intention... et le libellé ne dit rien. Si nous regardons les règles pour Inspiration bardique nous voyons ce qui suit (c'est moi qui souligne) :
Une fois dans les 10 prochaines minutes, la créature peut lancer le dé et ajouter le nombre obtenu à un test de capacité, un jet d'attaque, ou un jet de sauvegarde qu'elle effectue. La créature peut attendre d'avoir lancé le d20 avant de décider d'utiliser le dé d'inspiration bardique, mais doit décider avant que le DM ne dise si le jet réussit ou échoue. DM dise si le jet réussit ou échoue. Une fois que le Bardic Inspiration est jeté, il est perdu. Une créature ne peut avoir qu'un seul d'inspiration bardesque à la fois.
La formulation ici indique carrément que dans ce cas particulier, le joueur doit décider avant que le DM ne dise si le jet réussit ou échoue. Donc, implicitement, ce n'est pas inhérent au fait de donner un bonus au jet.
En tant que tel, il devrait être possible de donner un bonus à un jet après que le succès ou l'échec ait été déterminé - et, en effet, le Sorcier de l'âme divine 's Favorisé par les dieux (XGtE, p. 50) fait cela - et Flash of Genius laisse l'activation entre les mains du joueur.
Ainsi, il serait logique que le joueur puisse attendre que le succès ou l'échec soit déclaré avant de décider d'utiliser ou non l'éclair de génie.
eidt : et, nous avons maintenant de nouvelles informations... en quelque sorte. Le compendium des conseils du Sage offre une clarification pas tout à fait claire pour aller avec ce qui précède.
Vous utilisez l'Éclair de génie immédiatement après que le d20 de déclenchement est et avant que les effets du jet ne soient appliqués. A moins qu'une règle ne vous indique le contraire, une réaction se produit immédiatement après son déclenchement
Donc... c'est après le jet, mais avant que les effets soient appliqués. Oui, cela semble couvrir les deux des options décrites précédemment. Il est vrai que cela tend à se rapprocher du côté "probablement avant que le succès/échec ne soit déclaré", mais à mes yeux, cela reste fermement dans le domaine de l'arbitrage des SM.