Étant donné une collection de cartes Hearthstone, comment déterminer le paquet de cartes optimal à acheter ?

Question

Hearthstone permet aux joueurs d'acheter des paquets de cartes avec de l'argent réel ou de la monnaie du jeu. Chaque paquet de cartes Hearthstone contient cinq cartes dont au moins une carte est rare ou meilleure. Plusieurs études ont été menées par des joueurs pour échantillonner des paquets de cartes afin de déterminer la rareté typique des cartes dans un paquet Hearthstone :

                                        Commune     Rare        Épique      Légendaire
Pourcentage du total                    71,65%      22,84%      4,42%       1,10%
Nombre par 27 868 paquets               99 836     31 821     6 152       1 531
Probabilité d'au moins 1 par paquet     99,81%      72,64%      20,21%      5,37%

Les joueurs peuvent désenchanter des cartes pour créer de la Poussière d'Arcane qui peut ensuite être utilisée pour créer des cartes. Les coûts de création et de désenchantement pour une carte sont déterminés par sa rareté et son état (normal/doré) :

Rareté                  Coût de création       Valeur de désenchantement
Commune                 40                   5
Rare                    100                  20
Épique                  400                  100
Légendaire              1600                 400
Commune dorée           400                  50
Rare dorée              800                  100
Épique dorée            1600                 400
Légendaire dorée        3200                 1600

Étant donné les coûts de création et de désenchantement ci-dessus ainsi que les statistiques de composition des paquets de cartes, la valeur de poussière attendue d'un paquet de cartes est de 97,8.

Pour le cadre de cette question, avoir un ensemble jouable complet signifie ignorer le fait qu'une carte soit dorée, avoir une copie de chaque carte Légendaire et deux copies de l'une des raretés suivantes : Commune, Rare et Épique pour chaque carte. Un ensemble jouable suppose que les cartes doublons de grande valeur en poussière seront désenchantées plutôt que les équivalents de faible valeur.

Il est facile de déterminer la poussière nécessaire pour compléter une collection, mais plus difficile de déterminer quel paquet un joueur devrait acheter. Étant donné les probabilités d'ouvrir un paquet avec des raretés différentes et la valeur de poussière attendue d'un paquet, je veux déterminer quel paquet un joueur devrait acheter.

Plus précisément, ce que je recherche est une formule qui peut être utilisée pour déterminer le meilleur paquet de cartes à acheter pour un joueur en fonction de sa collection existante et de son désir d'avoir une collection jouable complète. Évidemment, à mesure que les paquets sont ouverts, la composition de la collection du joueur change et le prochain paquet optimal à acheter peut ne pas être le même que le dernier.

Je joue à Hearthstone depuis la bêta et j'ai accumulé une solide collection, mais il me manque encore des cartes des trois ensembles actuels :

• Classique : 705/723 (302 cartes collectibles)
  • Commune 336/336
  • Rare 162/162
  • Épique 66/74
  • Légendaire 23/33
• GvG : 178/226 (123 cartes collectibles)
  • Commune 80/80
  • Rare 70/74
  • Épique 22/52
  • Légendaire 6/20
• TGT : 200/244 (132 cartes collectibles)
  • Commune 97/98
  • Rare 69/72
  • Épique 28/54
  • Légendaire 6/20

En utilisant ma collection comme exemple, à quoi ressemblerait une formule pour déterminer le paquet optimal à acheter pour créer une collection jouable complète ?

Answer 1

Je pense que cela fonctionnerait. L'OP a déjà tenu compte du fait qu'il lui faut deux cartes de chaque type, sauf les légendaires, et une de chaque légendaire dans le total des cartes de sa collection.

Pour chaque rareté, le tableur multiplie la chance d'obtenir ce type de carte par 5 (la taille d'un paquet) puis par la chance que cette carte soit nouvelle pour l'utilisateur (non possédée / totale). Et à la fin de la ligne se trouve simplement une somme des chances pour chaque rareté. Pour faciliter les choses pour les personnes ayant une question similaire à l'avenir, faites une copie de cette feuille de calcul Google puis modifiez-la avec vos propres chiffres.

Il semble que dans le cas de l'OP, c'est très proche entre les paquets GvG et TGT, chaque type de paquet ayant légèrement plus d'une chance sur cinq de donner à l'OP une carte non possédée. La chance d'obtenir une carte non possédée dans un paquet Classique n'est que de 4%, soit 1 sur 25.

Édité pour ajouter : Comme documenté dans les réponses à cette question, la probabilité d'ouvrir une rareté spécifique est la même pour tous les types de paquets. (Merci à @KarouiHaythem d'avoir signalé cette question connexe dans les commentaires.)

De plus, je n'ai pas abordé le coût en poussière car, tant que la désenchantement d'une carte rapporte moins de poussière que ce qu'il en coûte pour la fabriquer, la solution optimale est d'ouvrir une carte plutôt que de la fabriquer. (Comme l'a noté @Dacio dans les commentaires.) Par conséquent, la solution se concentre sur le type de paquet optimal pour maximiser les chances d'ouvrir une carte non possédée.

Answer 2

Pour commencer, j'ai dû faire quelques hypothèses et simplifications :

1. Les probabilités des différentes raretés sont cohérentes entre les extensions : c'est-à-dire qu'un pack classique a la même chance de vous donner un rare, un épique ou un légendaire qu'un pack GvG. Cela semble probable, étant donné la faible variance entre les différentes études que j'ai trouvées, mais étant donné la taille de l'échantillon, les probabilités réelles pourraient être faussées de ~0,5%. Il est peu probable que cela change la valeur globale d'un pack.
2. La probabilité entre une carte rare, épique et légendaire est la même distribution relative pour la carte rare par paquet ou meilleure que pour une carte rare ou meilleure supplémentaire par paquet. J'essaierai de le montrer dans les calculs ci-dessous, mais c'est une hypothèse importante que je n'ai pas de données pour étayer.
3. La probabilité qu'une carte supplémentaire soit rare, épique ou légendaire est indépendante de la garantie d'une carte rare ou meilleure d'avoir été rare, épique ou légendaire.
4. Toutes les cartes ont une valeur en poussière ; une carte que vous n'avez pas est évaluée en fonction de la poussière qu'elle coûte à créer.
5. Une carte que vous faire a est évalué par la poussière qu'il vous donnerait du désenchantement.
6. Nous pouvons ignorer l'impact des cartes en or si nous supposons que la probabilité d'obtenir une carte en or est égale entre chaque type de pack d'expansion. Cela diminuera les valeurs de poussière attendues pour chaque paquet indiqué dans cette réponse, mais devrait le faire également pour chaque type de paquet.

J'ai fait un Feuille de calcul Google mais voici les parties pertinentes.

Un paquet est garanti d'avoir une carte rare - les probabilités que cette carte soit rare, épique ou légendaire sont évidemment plus élevées que les 4 autres cartes du paquet.

Rarity   Count  % Total   Rare+ Card %  Other 4 Cards %
Common   99836   71.65%       0.00%      89.56%
Rare     31821   22.84%      80.55%       8.41%
Epic      6152    4.42%      15.57%       1.63%
Legend    1531    1.10%       3.88%       0.40%
Total   139340  100.00%     100.00%     100.00%

_{Tableau 1 - Ventilation des probabilités des cartes en tenant compte de la carte garantie Rare+.}

• Sur les 139340 cartes de la méta-étude liée, 39504 étaient rares ou meilleures (c'est-à-dire que Rare+ ).
• Il y avait 27868 paquets ouverts dans la méta-étude liée, donc 27868 cartes Rares+ attendues (également 1/5 du nombre total de cartes).
• Ce qui nous laisse avec 11636 cartes rares+ supplémentaires.
• Et 111472 cartes qui n'étaient pas garanties rares ou meilleures (4/5 du nombre total de cartes).
• Rare+ Card % : La carte rare ou meilleure du paquet a 0 % de chances d'être commune. Pour calculer sa chance d'être chacune des raretés Rares+ (Rare, Epique et Légende), vous prenez le nombre total de cartes de cette rareté et le divisez par le nombre total de cartes Rares+ dans l'étude. (Il s'agit de l'hypothèse 2 dans la pratique).
  • Pour les rares, c'est 31821 / 39405 = 80,55%.
  • Epic : 6152 / 39405 = 15,57%.
  • Légende : 1531 / 39405 = 3.88%
• La probabilité qu'une des autres cartes, non garanties d'être rares ou meilleures, soit rare+ est le nombre de cartes rares supplémentaires divisé par les quatre cinquièmes du total des cartes : 11636 / 111472 = 10.44%
• Other 4 Cards % : Évidemment beaucoup plus susceptible d'être commun, mais exigeant aussi des calculs différents pour le Common% que pour le Rare+%.
  • Common% : Nombre total de communs divisé par les 4/5 du total des cartes. 99836 / 111472 = 89.56%
  • Rare+% : Probabilité de la rareté multipliée par la probabilité que la carte soit rare+.
  • Pour Rare, c'est 80,55% * 10,44% = 8,41%.
  • Epic : 15,57 % * 10,44 % = 1,63 %.
  • Légendaire : 3,88% * 10,44% = 0,40%.

Cela élève la valeur de la poussière attendue de cette carte (et du paquet en général) à un niveau bien plus élevé que la poussière de désenchantement pur trouvée dans d'autres études ( Reddit dit ~105 poussière, le wiki lié dans la question et cité pour une grande partie des données de cette réponse dit ~98 poussière), même si nous ignorons l'impact des cartes dorées.

Nous devons maintenant appliquer ces probabilités de recevoir chaque type de carte aux spécificités de votre collection.

• GvG : 178/226 (123 cartes à collectionner, besoin de 2x communes, rares et épiques, 1x légendaires)
  Comptages, y compris les doublons : h
  • Commun 80/80 - 100% de chances d'être un doublon, 0% de chances d'être nouveau
  • Rare 70/74 - 94.59% dupe, 5.41% nouveau
  • Epic 22/52 - 42.31% dupe, 57.69% nouveau
  • Légendaire 6/20 - 30.00% dupe, 70.00% nouveau

Rarity  Rare+ % Rare+ Dust  Other 4 %   Other 4 Dust
Common   0.00%   0          89.56%      17.91
Rare    80.55%  19.59        8.41%       8.18
Epic    15.57%  42.53        1.63%      17.76
Legend  3.88%   48.06        0.40%      20.07
        Sum     110.18      Sum         63.92

Total Pack Dust Value   174.09

_{Tableau 2 - La valeur de poussière attendue de chaque carte dans un paquet de Gobelins vs. Gnomes (GvG) pour <a href="https://gaming.stackexchange.com/users/559/ahsteele">@ashteele </a>de la collection.}

C'est là que ça devient un peu obscur. Les probabilités (colonnes 2 et 4) sont copiées du tableau 1 ci-dessus. La valeur de la poussière est calculée en prenant la probabilité de rareté et en multipliant la somme des valeurs de poussière respectives par la probabilité d'un double et d'une nouvelle carte nécessaire.

Ainsi, pour un GvG Rare sur la carte Rare+, cela représente 80,55% de chances d'être rare, 70/74 de chances d'être un dupe pour 20 poussières et 4/74 de chances d'être une nouvelle carte pour 100 poussières.

  80.55% * ( 20 dust * 70/74  + 100 dust * 4/74  )  
= 80.55% * ( 20 dust * 0.9459 + 100 dust * 0.0541)
= 80.55% * ( 18.92 dust       + 5.41 dust        )
= 80.55% *   24.25 dust
= 19.59 dust

Répétez l'opération pour chaque paire de cartes de rareté et de probabilité sur Rare+ et Other4 et vous obtenez une valeur de poussière attendue pour un pack GvG de 174,09 poussières. Au fur et à mesure que vous obtiendrez de nouvelles cartes GvG et que votre collection sera presque complète, cette valeur diminuera et se rapprochera de la valeur en poussière désenchantée d'un paquet de ~100 poussières, d'où mon commentaire sur l'approche heuristique consistant à choisir un paquet en fonction de la collection la moins complète.

Mais il reste à voir si cette approche est valable pour le reste de la collection, puisqu'ils ont chacun un nombre unique de cartes nécessaires et manquantes. Je pense que oui, car il vous manque moins de cartes rares et épiques TGT et un nombre égal de cartes légendaires TGT, et encore moins de cartes épiques et légendaires classiques et aucune carte rare classique. Mais pour être complet, voici les graphiques.

Rarity  Rare+ % Rare+ Dust  Other 4 %   Other 4 Dust
Common   0.00%    0         89.56%      19.19
Rare    80.55%   18.80       8.41%       7.85
Epic    15.57%   38.07       1.63%      15.89
Legend   3.88%   48.06       0.40%      20.07
        Sum     104.92      Sum         63.00

        Total Pack Value    167.92      

_{Tableau 3 - La valeur attendue de la poussière de chaque carte dans un paquet du Grand Tournoi (TGT) pour <a href="https://gaming.stackexchange.com/users/559/ahsteele">@ashteele </a>de la collection.}

Rarity  Rare+ % Rare+ Dust  Other 4 %   Other 4 Dust
Common   0.00%   0          89.56%      17.91
Rare    80.55%  16.11        8.41%       6.73
Epic    15.57%  20.62        1.63%       8.61
Legend   3.88%  29.60        0.40%      12.36
        Sum     66.33       Sum         45.61

        Total Pack Value    111.94

_{Tableau 4 - Valeur poussiéreuse attendue de chaque carte d'un Pack Classique pour <a href="https://gaming.stackexchange.com/users/559/ahsteele">@ashteele </a>de la collection.}

Je suis donc arrivé à la même conclusion que La réponse de lasarusL : GvG est le plus avantageux pour vous d'ouvrir, suivi de près par TGT, Classic étant loin derrière. Mes chiffres sont un peu plus élevés que même 5 fois les siens, mais comme je m'en doutais quand j'ai commencé à faire les calculs, la garantie d'une pièce rare ou mieux par paquet ne fait pas vraiment pencher la balance. Ce qui vaudrait la peine, je pense, c'est de retravailler les chiffres pour chaque extension et chaque rareté de carte afin de simplifier ma feuille de calcul de 5 pages en une simple formule de 4 multiplications et une addition pour chaque extension.

Answer 3

La valeur attendue par paquet sera la probabilité d'obtenir une carte dont vous avez besoin * son prix en poussière. Ainsi, pour chaque paquet, nous pouvons calculer sa valeur attendue en cartes dont vous avez besoin comme suit :

CoûtCommun(comunsRestants/comunsPossibles)ProbabilitéCommune + CoûtRare(rareRestants/rarePossibles)ProbabilitéRare + CoûtÉpique(épiquesRestants/épiquesPossibles)ProbabilitéÉpique + CoûtLégendaire(légendairesRestants/légendairesPossibles)ProbabilitéLégendaire

Techniquement, c'est 5 fois cela, car vous obtenez 5 cartes, mais nous n'utiliserons cela que comme outil de comparaison.

Donc pour votre exemple : Classique est 0 + 0 + 400(8/74).0442 + 1600(10/33).0110 = 7.24

GVG est 0 + 100(4/74).2284 + 400(30/52).0442 + 1600(14/20).0110 = 23.75

TGT est 40(1/90).7165 + 100(3/72).2284 + 400(26/54).0442 + 1600(14/20).0110 = 22.10

Vous devriez donc acheter des paquets de GVG et fabriquer des cartes classiques (car elles sont les plus chères pour vous obtenir à travers des paquets).

Je pense que vous pourriez obtenir un calcul légèrement meilleur si vous preniez en compte le fait que le besoin de 2 d'un rare rend vos chances pires que le besoin de 1 de 2 différents rares.