Comme Dale M le fait remarquer à juste titre, la probabilité d'une perte de balle diminue en fait pour des poules suffisamment grandes. Cela s'explique par le fait que on ne peut qu'échouer quand on ne réussit pas. et avec un nombre suffisant de dés, la probabilité de succès est très élevée.
Voici un simple Programme AnyDice pour calculer le taux de fumble pour différents nombres de cibles et tailles de bassins :
function: roll ROLL:s target TARGET:n {
if (ROLL >= TARGET) { result: 1 } \ success \
if (ROLL = 1) >= 2 { result: -1 } \ fumble \
result: 0 \ failure \
}
loop T over {6..8} {
\ optimization: use a custom d10 that can only roll 1 (fumble?), 2 (no success) or 10 (success) \
DIE: {1, 2:(T-2), 10:(10-T+1)}
loop N over {2..10} {
output [roll NdDIE target T] named "[N]d10 vs. [T] (-1 = fumble, 0 = fail, 1 = success)"
}
}
(La seule partie non évidente de ce programme, en dehors de l'astuce générale pour Dés "gelés" dans AnyDice en les passant à une fonction comme une séquence, de sorte que nous pouvons examiner le résultat d'un jet spécifique, est l'utilisation d'un dé personnalisé pour "réétiqueter" les côtés du d10. Il s'agit strictement d'une optimisation ; le programme donnerait exactement les mêmes résultats avec un dé personnalisé. Nd10 au lieu de NdDIE mais il fonctionnerait beaucoup plus lentement et risquerait de tomber en panne à moins que vous ne réduisiez la taille maximale du pool).
Ce programme donne les probabilités d'échec suivantes pour différents nombres de cibles et tailles de bassin :
Pool | vs. 6 | vs. 7 | vs. 8
------+-------+-------+-------
2d10 | 1.00% | 1.00% | 1.00%
3d10 | 1.30% | 1.60% | 1.90%
4d10 | 1.13% | 1.71% | 2.41%
5d10 | 0.82% | 1.52% | 2.55%
6d10 | 0.54% | 1.23% | 2.43%
7d10 | 0.33% | 0.92% | 2.17%
8d10 | 0.19% | 0.66% | 1.85%
9d10 | 0.11% | 0.46% | 1.52%
10d10 | 0.06% | 0.31% | 1.21%
Ps. La raison pour laquelle ces chiffres ne correspondent pas exactement à ceux de Dale est que sa formule semble comporter une erreur ; plus précisément, elle compte deux fois les cas où l'on finit par obtenir un résultat positif. plus que deux (et aucun succès).
La formule correcte peut être dérivée en calculant d'abord la probabilité de ne pas réussir un jet, ce qui est simple :
$$ P({ \rm fail}) = \left ( \frac {T - 1}{10} \right )^N $$
où \N$N\$ est le nombre de dés lancés, et \N$T\$ est le nombre cible. Maintenant, étant donné que on n'a pas réussi (c'est-à-dire que tous les jets sont inférieurs à \$T\$), le probabilité conditionnelle d'un fumble est égale à la probabilité de lancer 2 ou plus de 1 sur N{\$N{}. \rm d}(T-1)\$. C'est égal à 1 moins la probabilité de lancer 0 ou 1 sur \$N{{}N{}. \rm d}(T-1)\$, c'est-à-dire :
$$ P({ \rm fumble} \mid { \rm fail}) = 1 - \left ( \frac {T-2}{T-1} \right )^N - \frac {N}{T-1} \times \left ( \frac {T-2}{T-1} \right )^{N-1} $$
En les combinant, on obtient :
$$ \begin {align} P({ \rm fumble}) & = P({ \rm fumble} \mid { \rm échouer}) \times P({ \rm échouer}) \\ & = \left ( 1 - \left ( \frac {T-2}{T-1} \right )^N - \frac {N}{T-1} \times \left ( \frac {T-2}{T-1} \right )^{N-1} \right ) \times \left ( \frac {T - 1}{10} \right )^N \end {align} $$
qui donne effectivement des chiffres correspondant aux résultats d'AnyDice.
