Comment déterminer la probabilité d'obtenir différentes fourchettes de chiffres sur 4d10, 5d10, etc.

Question

Après avoir réalisé que mes connaissances sur le fonctionnement des probabilités ont considérablement diminué, je me demande quelle est la probabilité d'obtenir plusieurs 6 ou plus (6-10) sur quatre dés à 10 faces, cinq dés à 10 faces, etc. jusqu'à neuf dés à 10 faces.

De même, quelle est la probabilité d'obtenir un 7 ou plus, un 8 ou plus, un 9 ou plus sur les mêmes jeux de dés que ceux mentionnés ci-dessus.

Quelque chose comme ;
% de chance d'obtenir 3 sur 6-10 sur 4d10,
% de chance d'obtenir 3 sur 7-10 sur 4d10,
% de chance d'obtenir 3 sur 8-10 sur 4d10,
% de chance d'obtenir 3 sur 9-10 sur 4d10, etc.

% de chance d'obtenir 3/4/5 de 6-10 sur 5d10...
etc.

J'ai essayé de créer quelques fonctions sur AnyDice, mais je n'arrive pas à les faire fonctionner, ou je crains de mal comprendre mes résultats.

Comment faire pour que cela fonctionne ?

Answer 1

Vous devez demander à anydice de lancer un certain nombre de dés personnalisés, où la définition du dé personnalisé inclut un nombre de zéros égal au nombre de faces du dé qui ne font rien, et un nombre de uns pour le nombre de faces qui comptent comme "réussies". Par exemple, pour un 4d10 où les dés qui sortent 6 ou plus sont considérés comme réussis et contribuent à votre score final (également connu sous le nom de lancer 4 dés contre une difficulté de 6), utilisez ceci :

output 4d{0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1}

On peut l'abréger par le format Xd{0:a,1:b}, où "X" est le nombre de dés, "a" est le nombre de faces qui ne donnent aucun résultat et "b" est le nombre de faces qui ne donnent aucun résultat. faire donnent un succès, tel que a=(difficulté-1) et b=(11-difficulté). Ainsi, pour 4 dés de difficulté 6, cela s'écrit comme suit :

sortie 4d{0:5,1:5}

Si vous souhaitez plutôt lancer sept dés et vous demander combien d'entre eux donneront 9 ou mieux, utilisez ceci :

sortie 7d{0:8,1:2}

Dans certains systèmes, tels que Storyteller / World of Darkness / Exalted, les dés qui sortent avec la face '1' ne sont pas pris en compte. soustraire de votre score final. Dans ce cas, remplacez le premier zéro par un "-1". Inversement, si les dés qui sortent avec la face '10' comptent comme des deux succès, remplacez le '1' final par un '2', comme ceci (en lançant 12 dés contre une difficulté de 7) :

sortie 12d{-1,0:5,1:3,2}

Par ailleurs, il est possible de lancer des d10 normaux et de donner des instructions de comptage conditionnelles, d'utiliser des fonctions personnalisées, etc, il semble souvent causer une telle charge de travail pour le serveur qu'il s'arrête sans donner de résultat en particulier avec des pools de dés élevés. Le format de dé personnalisé semble éviter le problème de dépassement de temps. Dorénavant, j'éviterai donc la méthode la moins efficace et m'en tiendrai à celle que j'ai décrite plus haut.

On vient de me dire que l'utilisation du

sortie 7d(d10>=9)

est sûr (où 9 est la difficulté), et lorsque je l'ai testé, il a fonctionné correctement, mais à d'autres moments, j'ai eu des dépassements de temps. C'est donc à vous de décider si vous voulez l'utiliser dans les cas où vous ne vous souciez pas des 1 et des 10.

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Lire les résultats

Anydice propose des formats de résultats sous forme de tableaux et de graphiques, et peut vous offrir des valeurs "exactes" (probabilité d'un résultat spécifique donné), "au moins" (probabilité d'un résultat égal ou supérieur) et "au plus" (probabilité d'un résultat égal ou inférieur). Lorsque vous jouez à des jeux où il n'y a pas d'inconvénient à obtenir des résultats plus élevés, il est préférable d'opter pour les valeurs "au moins". Pour les jeux où il peut être dangereux de dépasser le score prévu (je ne connais qu'un seul jeu de ce type, mais il n'utilise pas les dés), vous devriez considérer la somme des probabilités exactes de tous les scores dans une fourchette acceptable - c'est votre chance d'obtenir le résultat désiré.

Answer 2

Je pense qu'il est beaucoup plus facile d'examiner ce genre de questions visuellement que par le biais des mathématiques brutes.

Commençons par une question simple et essayons de trouver la réponse : Quelles sont les chances d'obtenir au moins 1 10 lorsqu'on lance 2d10 ?

Une fois encore, évitons les calculs arithmétiques complexes et construisons plutôt un tableau qui représente toutes les possibilités pour chaque résultat.

Tout d'abord, considérons les résultats d'un seul d10 :

\begin { & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline \text {1d10} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \end {array}

Pour construire ce tableau, nous prendrons deux de ces tableaux et les multiplierons pour obtenir les valeurs de chaque cellule.

Heureusement, la valeur de chacun d'entre eux est de 1, ce qui est assez facile :

\begin {array}{r|llllllllll} 10 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 9 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 8 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 7 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 6 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 5 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 4 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline \text {2d10} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \end {array}

Nous allons maintenant marquer tous les résultats pour lesquels nous avons obtenu au moins 1 10.

\begin {array}{r|llllllllll} 10 & 1* & 1* & 1* & 1* & 1* & 1* & 1* & 1* & 1* & \text {1**} \\ 9 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1* \\ 8 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1* \\ 7 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1* \\ 6 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1* \\ 5 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1* \\ 4 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1* \\ 3 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1* \\ 2 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1* \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1* \\ \hline \text {2d10} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \end {array}

Ensuite, nous accumulerons tous ces résultats et nous verrons que nous avons 1 résultat pour lequel nous avons obtenu 2 10, 18 résultats pour lesquels nous avons obtenu 1 et 81 résultats pour lesquels nous n'avons pas obtenu de 10.

On pourrait donc dire que nous pouvons simplifier cela en un tableau :

\begin { & 81 & 18 & 1 \\ \hline \text {2d10} & 0 & 1 & 2 \end {array}

Ainsi, si nous calculons "quelles sont les chances de lancer au moins 1 10", nous disons "19/100", si nous disons "quelles sont les chances de lancer exactement 1 10, nous disons "18/100".

Qu'en est-il d'un résultat de 6 ou plus ?

\begin {array}{r|llllllllll} 10 & 1* & 1* & 1* & 1* & 1* & \text {1**} & \text {1**} & \text {1**} & \text {1**} & \text {1**} \\ 9 & 1* & 1* & 1* & 1* & 1* & \text {1**} & \text {1**} & \text {1**} & \text {1**} & \text {1**} \\ 8 & 1* & 1* & 1* & 1* & 1* & \text {1**} & \text {1**} & \text {1**} & \text {1**} & \text {1**} \\ 7 & 1* & 1* & 1* & 1* & 1* & \text {1**} & \text {1**} & \text {1**} & \text {1**} & \text {1**} \\ 6 & 1* & 1* & 1* & 1* & 1* & \text {1**} & \text {1**} & \text {1**} & \text {1**} & \text {1**} \\ 5 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1* & 1* & 1* & 1* & 1* \\ 4 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1* & 1* & 1* & 1* & 1* \\ 3 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1* & 1* & 1* & 1* & 1* \\ 2 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1* & 1* & 1* & 1* & 1* \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1* & 1* & 1* & 1* & 1* \\ \hline \text {2d10} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \end {array}

Prenons la version simplifiée du tableau :

\begin { & 25 & 50 & 25 \\ \hline \text {2d10} & 0 & 1 & 2 \end {array}

Nous espérons que vous voyez maintenant comment cette technique fonctionne pour tous les nombres possibles que vous pourriez rechercher dans le tableau d'origine.

Maintenant, élargissons-le. Qu'en est-il de 3d10, avec la probabilité d'obtenir au moins 2 10 ?

Eh bien, nous pourrait essayer de construire une matrice tridimensionnelle à l'aide de ces trois dés différents, mais cela semble représenter beaucoup de travail. Pourquoi ne pas simplement définir ce tableau à 1 dimension comme l'un des axes pour représenter 2d10, et définir l'autre axe comme le nouveau 1d10 ?

Gardez à l'esprit que nous devons multiplier ces tableaux ensemble, donc nous devons d'abord nous en occuper :

\begin {array}{r|llllllllll} 2 & \text {1**} & \text {1**} & \text {1**} & \text {1**} & \text {1**} & \text {1**} & \text {1**} & \text {1**} & \text {1**} & \text {1***} \\ 1 & \text {18*} & \text {18*} & \text {18*} & \text {18*} & \text {18*} & \text {18*} & \text {18*} & \text {18*} & \text {18*} & \text {18**} \\ 0 & 81 & 81 & 81 & 81 & 81 & 81 & 81 & 81 & 81 & \text {81*} \\ \hline \text {2d10/1d10} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \end {array}

J'ai combiné deux étapes et marqué toutes les cellules avec le nombre de 10 que nous pouvons compter.

Nous allons donc nous ramener à un tableau : 0 est 729 (9 * 81), 1 est 243 (18 * 9 + 81), 2 est 27 (1 * 9 + 18), et 3 est 1.

\begin { & \text {729} & \text {243} & \text {27} & \text {1} \\ \hline \text {3d10} & 0 & 1 & 2 & 3 \end {array}

Ici, il y a donc (27 + 1) 28/1000 de chances d'obtenir au moins 2 10 sur un 3d10. Il y a 27/1000 de chances d'obtenir exactement 2 10, et 729/1000 de chances de ne pas obtenir de 10 du tout.

Nous allons le faire une fois de plus avec l'exemple du 6 :

\begin {array}{r|llllllllll} 2 & \text {25**} & \text {25**} & \text {25**} & \text {25**} & \text {25**} & \text {25***} & \text {25***} & \text {25***} & \text {25***} & \text {25***} \\ 1 & \text {50*} & \text {50*} & \text {50*} & \text {50*} & \text {50*} & \text {50**} & \text {50**} & \text {50**} & \text {50**} & \text {50**} \\ 0 & 25 & 25 & 25 & 25 & 25 & \text {25*} & \text {25*} & \text {25*} & \text {25*} & \text {25*} \\ \hline \text {2d10/1d10} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \end {array}

\begin { & \text {125} & \text {375} & \text {375} & \text {125} \\ \hline \text {3d10} & 0 & 1 & 2 & 3 \end {array}

125/1000 chances pour tous les nombres inférieurs à 6, 375/1000 chances pour exactement 1 nombre entre 6 et 10, 375/1000 chances pour 2 nombres entre 6 et 10, et 125/1000 chances pour les trois nombres entre 6 et 10.

Cette technique peut être étendue à n'importe quel nombre de dés. Elle fonctionne également pour les combinaisons de dés. Par exemple, quelles sont les chances d'obtenir 2 nombres d'au moins 5 sur un 1d6+1d8 ?

\begin {array}{r|llllllll} 6 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 5 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 4 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline \text {1d6/1d8} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \end {array}

\begin { & 16 & 24 & 8 \\ \hline \text {1d6/1d8} & 0 & 1 & 2 \end {array}

Ainsi, les chances d'obtenir deux nombres d'au moins 5 sont de 8/48 dans cet exemple, soit 1/6.

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Je ne dénigre pas l'approche du mathématicien qui consiste à fournir des pourcentages et des nombres décimaux. Mais pour moi, il s'agit d'une approche beaucoup plus intuitive pour résoudre le problème, et cela me donne un moyen facile de travailler sur la façon d'étendre la table pour des jets de dés plus complexes sans avoir besoin de penser à des dimensions supérieures ou de traiter les règles complexes associées à la probabilité statistique.

Cela dit, si vous faire Si vous connaissez ces règles, vous obtiendrez les mêmes calculs que ceux que j'effectue ici, mais d'une manière plus directe. Cela vous permet simplement de comprendre les mécanismes sous-jacents en jeu.

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Un dernier exemple

Juste pour ramener tout cela à la maison.

Nous lançons 6d10. Nous voulons savoir combien de jets de 7 ou plus nous obtenons. Générons ces tables. En utilisant notre 1d10x1d10 original, nous obtenons notre 2d10 :

\begin { & 36 & 48 & 16 \\ \hline \text {2d10} & 0 & 1 & 2 \end {array}

Pour obtenir 3d10, on combine 1d10 et 2d10.

\begin {array}{r|llllllllll} 2 & 16 & 16 & 16 & 16 & 16 & 16 & 16 & 16 & 16 & 16 \\ 1 & 48 & 48 & 48 & 48 & 48 & 48 & 48 & 48 & 48 & 48 \\ 0 & 36 & 36 & 36 & 36 & 36 & 36 & 36 & 36 & 36 & 36 \\ \hline \text {2d10/1d10} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \end {array}

Que nous réduisons à un tableau

\begin { & 216 & 432 & 288 & 64 \\ \hline \text {3d10} & 0 & 1 & 2 & 3 \end {array}

Nous créons ensuite un tableau à partir de ce tableau multiplié par lui-même

\begin {array}{r|llll} 3 & 13824 & 27648 & 18432 & 4096 \\ 2 & 62208 & 124416 & 82944 & 18432 \\ 1 & 93312 & 186624 & 124416 & 27648 \\ 0 & 46656 & 93312 & 62208 & 13824 \\ \hline \text {3d10/3d10} & 0 & 1 & 2 & 3 \end {array}

Enfin, nous réduisons ce tableau à un tableau.

\begin { & 46656 & 186624 & 311040 & 276480 & 138240 & 36864 & 4096 \\ \hline \text {6d10} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \end {array}

Ainsi, la probabilité d'obtenir exactement 4 nombres supérieurs ou égaux à 7 sur 6d10 est de 138 240/1 000 000. La probabilité d'obtenir au moins 4 numéros supérieurs ou égaux à 7 sur 6d10 est de 179 200/1 000 000. La probabilité de n'obtenir aucun numéro supérieur ou égal à 7 est de 46 656/1 000 000.

Il s'agit de simples additions et multiplications, très peu de théorie mathématique.

Answer 3

De manière générale, si vous comptez une valeur cible de t sur un dé à m faces, le jet de dé étant représenté par la variable aléatoire D, la probabilité d'obtenir une valeur spécifique est, bien sûr, p(D=t) = 1/m. Si vous essayez d'obtenir t ou plus sur un jet individuel, vous avez une probabilité de succès de p(D>=t) = (m-t+1)/m.

• Par exemple, votre chance d'obtenir 7 ou plus sur un d10 est P(D>=7) = (10-7+1)/10 = 4/10. Sur AnyDice, ce serait 1d10>=7.

Lorsque l'on lance plusieurs dés indépendamment les uns des autres (sans les additionner), on peut calculer les chances d'une combinaison particulière par multiplication. Par exemple, la probabilité d'obtenir deux résultats supérieurs à 7 puis deux résultats inférieurs à 7, dans cet ordre, est P(D1 >= 7) * P(D2 >= 7) * P(D3 < 7) * P(D3 < 7) = 0,4*0,4*0,6*0,6.

• Sur AnyDice, ce serait 1d10>=7 & 1d10>=7 & 1d10<7 & 1d10<7.

Cependant, nous ne voulons pas de jets de dés dans une combinaison spécifique, ordonnée, comme deux succès puis deux échecs. N'importe quelle combinaison de deux succès et de deux échecs fera l'affaire. Nous avons donc besoin du nombre de façons d'obtenir exactement deux succès en quatre lancers, ce qui utilise la règle du "nombre de combinaisons" ou nCr . 4 choisissent 2 = 6, nous multiplions donc nos 0,4*0,4*0,6*0,6 précédents par 6 pour obtenir que la probabilité d'obtenir au moins 2 jets d'au moins 7 sur 4d10 est de 34,56%.

La formule générale est ici a Distribution binomiale :

p_success^num_successes * p_failure^num_failures * nCr(num_failures+num_successes, num_successes)

Sur AnyDice, la façon la plus simple d'obtenir des combinaisons de ce type est de comparer d'abord, puis d'additionner les variables. Ainsi, si vous tapez une formule comme celle-ci, vous obtiendrez la distribution du nombre de jets de 4d10 d'au moins 7.

output (1d10>=7) + (1d10>=7) + (1d10>=7) + (1d10>=7)

ou

output 4d(1d10>=7)

Pour un grand nombre de jets de dés (au moins 14 pour notre exemple d10>=7), la distribution normale est une bonne approximation de ces résultats. Notez que la distribution du total de plusieurs lancers de dés est donnée par le tableau suivant Wolfram et Stats SE ou sont assez triviales à calculer sur Anydice avec des formules comme (3d6+1d8)>10.

Answer 4

Pour une solution analytique.

Distribution de Bernoulli

Lancer un dé et interpréter le résultat en termes de réussite ou d'échec, c'est une Distribution de Bernoulli . Une distribution de Bernoulli n'a qu'un seul paramètre \$p\$ la probabilité de réussite. Cependant, il est également pratique de définir \$q\$ la probabilité d'une défaillance telle que \$q=1-p\$ .

Pour votre question, \$p\$ est la probabilité d'obtenir le nombre cible ou un nombre supérieur sur le dé donné. Je suppose que vous pouvez le faire, mais par souci d'exhaustivité, pour un nombre cible \$t\$ sur un \$d\$ la probabilité de réussite est la suivante \$p = {{d-t+1} \over d}\$ .

Distribution binomiale

Compter le nombre de succès dans \$n\$ tests de Bernoulli indépendants est un Distribution binomiale . La fonction de masse de probabilité (c'est-à-dire la chance d'avoir exactement \$k\$ d'une distribution binomiale est :

$$f(k,n,p)= \text {Pr}(X=k)= \binom {n}{k}p^kq^{n-k}$$.

pour \Nk=0, 1,2, ...,n\N où

$$ \binom {n}{k}={{n!} \over {k !(n-k)!}$$

est le coefficient binomial .

Exemple

% de chance d'obtenir 3 sur 6-10 sur 4d10

$$t=6, d=10, n=4, k=3$$.

$$ \begin {align}p&={{d-t+1} \over d} \\ &={{10-6+1} \over 10} \\ &=0.5 \end {align}$$

$$ \begin {align} \text {Pr}(X=k=3)&= \binom {n}{k}p^kq^{n-k} \\ &= \binom {4}{3}0.5^30.5^{4-3} \\ &={{4!} \over {3 !(4-3)!}}0.125 \times0.5\\ &={{4 \times 3 \times 2 \times 1} \over {3 \times 2 \times 1(1)}}0.125 \times0.5\\ &=4 \times0.0625\\ &=0.25 \end {align}$$

Ou, dans Excel

=BINOM.DIST(3,4,0.5,FALSE)

Answer 5

L'une des façons de simplifier ce problème consiste à modéliser votre dé sous la forme d'un concept plus simple. Supposons que nous ayons une pièce de monnaie qui soit "juste", c'est-à-dire qu'elle soit pile dans 50 % des cas et face dans 50 % des cas. Lancer un d10 juste et demander "est-ce que c'est 1-5 ou 6-10" ? est logiquement la même chose que lancer une pièce juste et demander "est-ce que c'est pile ou face ?" Si cette idée n'a pas de sens, arrêtez-vous et réfléchissez-y jusqu'à ce qu'elle en ait un.

Supposons que nous disposions d'une pièce de monnaie équitable et que nous la retournions quatre fois. Quels sont les résultats possibles ? Il n'y en a que 16 :

HHHH, HHHT, HHTH, HHTT,
HTHH, HTHT, HTTH, HTTT,
THHH, THHT, THTH, THTT,
TTHH, TTHT, TTTH, TTTT

Toutes les possibilités sont aussi probables les unes que les autres. (Vous voyez pourquoi ?)

Notre question est donc la suivante : "Quelle est la probabilité d'avoir plusieurs queues ?" Eh bien, il suffit de lire le tableau. Il y a 16 possibilités, et 10 d'entre elles ont plusieurs queues, la probabilité est donc de 10/16. (Notez qu'il ne s'agit pas de cotes Il ne s'agit pas d'une probabilité de 10 à 16. La probabilité de réussite est la fraction 10/16e. Les chances sont le rapport entre les résultats positifs et les résultats négatifs ; la probabilité est le rapport entre les succès et le nombre total de résultats).

Cela devient difficile lorsque nous avons neuf pièces justes à retourner, car il y a 512 possibilités, ce qui est beaucoup à énumérer. Ce n'est certainement pas impossible, mais c'est beaucoup.

Pour le cas des neuf pièces, nous pouvons simplifier le problème en utilisant l'astuce suivante :

• Soit P2m la probabilité qu'il y ait deux queues ou plus.
• Soit P1 la probabilité qu'il y ait exactement une queue.
• Soit P0 la probabilité qu'il n'y ait pas de queue.
• Il est évident que P2m + P1 + P0 doivent être égaux à 1 parce que ces possibilités ne se chevauchent pas et qu'il n'y a pas d'autres possibilités.
• Par conséquent, si nous pouvons calculer P0 et P1, nous pouvons calculer P2m.

P0 est la probabilité de HHHHHHHHH, qui est de 1/512. Pour P1, il n'y a que neuf possibilités : HHHHHHHT, HHHHHHTH, ... THHHHHHHH. Chacune est également probable, donc P1 est égal à 9/512. Par conséquent, P2m doit être égal à 502/512. Il est très probable que vous obteniez au moins deux jets de 6 à 10 sur 9d10 ; cela se produit environ 98% du temps.

Qu'en est-il de l'affaire des 7-10 ans ? Nous disons maintenant que la pièce est injuste et est biaisé en faveur des têtes. En d'autres termes, 60 % du temps, c'est pile et 40 % du temps, c'est face. Nous pouvons maintenant effectuer la même analyse, mais en gardant ceci à l'esprit. La probabilité de chaque résultat est le produit des probabilités de chaque composante. Ainsi, si nous avons

HHHH

avec notre modèle à quatre flip et qu'il y a 60% de chances que ce soit face, la probabilité est de (6x6x6x6)/(10x10x10x10).

De même, si nous avons

HTTH

la probabilité est de 6x4x4x6/(10x10x10x10).

Nous pouvons donc à nouveau calculer la probabilité d'obtenir deux ou plusieurs queues lors de quatre tirages à pile ou face. Il y a dix possibilités ; calculez la probabilité de chacune d'entre elles, additionnez-les et vous obtiendrez la réponse.