Comment calculer la quantité d'un article que j'aurai dans ce système d'inventaire ?

Question

J'ai testé un jeu la semaine dernière avec un système assez amusant. Ce système s'appelle "Dés d'usure". Je le traduis par "Dés d'usure", mais je ne suis pas sûr.

Lorsque vous possédez un objet, vous ne savez pas combien d'exemplaires de cet objet vous possédez. Au lieu de cela, vous disposez d'un dé représentant vaguement votre quantité d'objets. Après avoir utilisé l'objet, vous lancez le dé pour voir si vous conservez la même quantité ou si vous descendez d'un niveau (1d10 → 1d8 → 1d6 → 1d4). Si vous descendez d'un niveau à partir de 1d4, vous n'en avez plus.

Prenons un exemple.

Le MJ dit que vous avez "1d10" potions. Vous utilisez une potion, vous appliquez l'effet, puis vous lancez 1d10. Si le résultat est supérieur à 3, vous avez toujours "1d10" potions. Mais si le résultat est compris entre 1 et 3, vous descendez d'un cran et n'avez plus que "1d8" potions.

Maintenant que vous en êtes à "1d8" potions, si vous utilisez une autre potion, vous lancez 1d8. Si le résultat est supérieur à 3, vous avez toujours "1d8" potions. Mais si le résultat est compris entre 1 et 3, vous descendez d'un cran : vous avez maintenant "1d6" potions.

Le système fonctionne jusqu'à 1d4. Si vous obtenez un résultat entre 1 et 3 avec 1d4, vous n'avez plus de potions dans votre sac.

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Disons que j'ai "1d10" potions dans mon sac, comment puis-je calculer la moyenne du nombre de potions que j'aurai ?

Longue histoire : J'ai vraiment envie de réutiliser ce système pour un jeu de rôle fait maison. Mais je me demande si je vais garder la limite de "1-3" ou si je vais utiliser une limite différente comme "1-2". Mais je me demande comment cela va modifier les probabilités.

Answer 1

Si vous êtes au "stade d10", vous avez un \$ \frac {7}{10}\$ de rester sur place, et \$ \frac {3}{10}\$ pour aller au "stade d8". Le nombre moyen de potions dans cette étape est donc de \$1 + \frac {7}{10} + \frac {7}{10}^2 + \frac {7}{10}^3 + \ldots = \frac {10}{3}\$ . Si vous vous demandez d'où vient ce chiffre, c'est qu'il provient de l'étude bien connue de l'Agence européenne pour la sécurité et la santé au travail (ESA). série géométrique qui disent que cette somme est égale à \$ \frac {1}{1- \frac {7}{10}}\$ .

Si vous êtes au "stade d8", vous avez une \$ \frac {5}{8}\$ de rester sur place, et \$ \frac {3}{8}\$ pour passer à l'étape d6. Le nombre moyen de potions dans cette étape est donc de \$1 + \frac {5}{8} + \frac {5}{8}^2 + \frac {5}{8}^3 + \ldots = \frac {8}{3}\$ .

Si vous êtes au "stade d6", vous avez une \$ \frac {1}{2}\$ de rester sur place, et \$ \frac {1}{2}\$ pour aller au "Stade d4". Le nombre moyen de potions dans l'étape est donc de \$1 + \frac {1}{2} + \frac {1}{2}^2 + \frac {1}{2}^3 + \ldots = 2 = \frac {6}{3}\$ .

Si vous êtes au "stade d4", vous avez une chance de \$ \frac {1}{4}\$ pour y rester. Par conséquent, le nombre moyen de potions à ce stade est de \$1 + \frac {1}{4} + \frac {1}{4}^2 + \frac {1}{4}^3 + \ldots = \frac {4}{3}\$ .

Si l'on fait la somme de ces éléments, on obtient \$ \frac {10}{3} + \frac {8}{3} + \frac {6}{3} + \frac {4}{3} = 9 \frac {1}{3}\$ .

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Une autre façon de modifier les probabilités (plutôt que de passer à 1-2) est de commencer à un autre dé, par exemple l'étape d8 au lieu de l'étape d10. En général, des "seuils" plus bas (le 2 que vous proposez est plus bas que le 3) augmentent la moyenne, et des valeurs plus basses pour le dé de départ diminuent le nombre moyen d'objets. Pour calculer cela rapidement, nous avons la formule suivante (merci @RyanThompson pour l'astuce) :

Le nombre moyen de potions à l'étape d \$N\$ si vous avez besoin de battre \$m\$ es \$ \frac {N}{m}\$ .

Dans votre cas initial, \$m=3\$ .

Answer 2

Comme d'autres réponses l'ont souligné, le nombre d'éléments à chaque étape est un facteur déterminant. géométrique variable aléatoire. Le nombre total d'items à travers les étapes est donc une somme de variables aléatoires géométriques. Comme chacune des variables provient d'une distribution géométrique différente, la distribution de la somme est un peu compliquée, mais nous pouvons faire quelques progrès en considérant la distribution de chaque variable aléatoire géométrique isolément. Plus précisément, nous pouvons comprendre la moyenne et la variance de la somme si nous comprenons la moyenne et la variance de chaque variable aléatoire. Il peut être important de comprendre la variance si l'on veut éviter les mécaniques de dés trop bruyantes.

La répartition des articles dans les différentes étapes

Une variable aléatoire géométrique est définie par le paramètre \$p\$ qui, dans ce cas, est la probabilité de descendre d'une étape. Pour l'étape \$i\$ nous appellerons cette probabilité \$p_i = m \div N_i \$ (où \$m\$ est le nombre à battre et \NNN_i\N est la taille de la filière au stade \$i\$ ), et le nombre (aléatoire) d'éléments dans l'étape \$X_i\$ . Le nombre attendu d'éléments à l'étape \$i\$ est : $$ \mathrm {E}(X_i) = \frac {1}{p_i}, $$ et la variance est : $$ \mathrm {Var}(X_i) = \frac {1 - p_i}{p_i^2}. $$

Intuitivement, plus la probabilité augmente, plus la valeur attendue diminue. De même, lorsque la probabilité augmente, la variance diminue.

La moyenne et la variance du nombre total d'items

La valeur attendue de la somme de \$n\$ est la somme des valeurs attendues de chaque variable aléatoire. Par conséquent, l'espérance de la somme, \$S\$ , est : $$ \mathrm {E}(S) = \sum_ {i=1}^n \frac {1}{p_i}. $$ La variance de la somme des indépendant est la somme des variances de chaque variable aléatoire : $$ \mathrm {Var}(S) = \sum_ {i=1}^n \frac {1 - p_i}{p_i^2}. $$ Le message à retenir est que si l'on diminue la probabilité de chaque étape ( c'est-à-dire , diminution \$m\$ ), le nombre total d'éléments devient plus bruyant . Cela peut être souhaitable ou non.

La probabilité de \$s\$ articles

Avec un peu d'effort, nous pouvons calculer la probabilité que le nombre total d'articles dans l'ensemble des pays de l'Union européenne soit égal ou supérieur au nombre total d'articles. \$n\$ est égale à une certaine valeur, \$s\$ : $$ P(S = s \mid p_1, p_2, \ldots , p_n) = \sum_ {i=1}^n p_i(1-p_i)^{s-1} \prod_ {j=1, j \neq 1}^n \frac {p_j}{p_j - p_i} $$ pour \$s \geq n\$ . Ceci est adapté de l'équation (1) dans ce document . Je trace cette fonction (ainsi que la moyenne et la variance) pour vos séquences particulières \$(1 \mathrm {d}10 \rightarrow 1 \mathrm {d}8 \rightarrow 1 \mathrm {d}6 \rightarrow 1 \mathrm {d}4)\$ et pour différentes valeurs de \$m\$ :

Answer 3

Juste pour le plaisir (et pour confirmer les calculs de Glorfindel), Modélisons cela dans AnyDice :

MAXROLLS: 40
set "maximum function depth" to MAXROLLS

function: iterate DIE:d {
  result: 1 + (DIE > 0) * [iterate DIE]
}

TOTAL: 0
loop SIDES over {4, 6, 8, 10} {
  TOTAL: [iterate 1dSIDES > 3] + TOTAL
  output [lowest of MAXROLLS and TOTAL] named "total items left at d[SIDES] stage"
}

Le cœur de ce code est la fonction [iterate DIE] qui prend un dé AnyDice arbitraire (c'est-à-dire une distribution de probabilités sur les entiers) et renvoie la distribution du nombre de fois où (de 1 à MAXROLLS ), il faut lancer le dé jusqu'à ce que l'on obtienne 0 (ou moins).

Dans AnyDice, une comparaison impliquant des dés, comme 1d10 > 3 renvoie simplement un dé personnalisé qui lance 1 avec la probabilité que la comparaison soit vraie, et 0 dans le cas contraire. Ainsi, en appelant [iterate 1d10 > 3] nous donne directement la distribution du nombre de jets jusqu'à ce que le joueur passe du stade d10 au stade d8.

Le reste du code passe en boucle sur les étapes disponibles (de la plus basse à la plus haute) et additionne le nombre total de rouleaux que le joueur peut s'attendre à effectuer jusqu'à ce qu'il ne reste plus aucun objet. Voici à quoi ressemblent les résultats :

(Étant donné que chaque étape individuelle est tronquée à un maximum de MAXROLLS je tronque aussi explicitement le nombre total de rouleaux à la même limite. Cela rend le graphique plus lisible et rend tout biais de troncature plus facile à voir en veillant à ce que nous ayons au moins autant de rouleaux disponibles pour chaque étape individuelle que nous en avons au total).

Et oui, nous pouvons voir que les moyennes numériques calculées par AnyDice correspondent effectivement aux calculs de Glorfindel : chaque d \$N\$ vous donne une moyenne de \$N/3\$ plus d'articles avant d'être à court. La valeur supplémentaire apportée par AnyDice montre également la distribution des résultats autour de la moyenne, qui présente une longue queue en décroissance exponentielle.

(Bien entendu, nous pouvons également tracer ces distributions sans utiliser d'outils comme AnyDice, en notant que le nombre de jets à chaque étape est indépendamment réparti géométriquement et de rechercher les formules appropriées pour cette distribution. Mais cela représenterait beaucoup plus de travail).

Answer 4

Question intéressante !

Ma réponse est un peu tardive et aboutit aux mêmes conclusions que les autres, mais je tenais à l'inclure car elle fournit des valeurs exactes qui manquent dans les réponses précédentes.

Je me suis concentré sur la distribution des chances d'obtenir chaque nombre d'utilisations pour votre dé. J'ai inclus quelques graphiques pour être complet.

Elle a été calculée en créant des séries infinies où le coefficient de x^n correspond à la probabilité d'obtenir n d'une potion. Je développe le polynôme par termes.

par exemple :

• d4 = (3/4 * x) * sum(i=0..inf) (x * 1/4)^i
• d6 = (3/6 * x) * sum(i=0..inf) (x * 3/6)^i * d4
• d8 = (3/8 * x) * sum(i=0..inf) (x * 5/8)^i * d6
• d10 = (3/10 * x) * sum(i=0..inf)(x * 7/10)^i * d8

Et calculez le coefficient à l'aide d'une multiplication (à peu près équivalente à la méthode python ci-dessous) :

def _coef(n, *args):
    # Sum all possible products such that the total exponent adds to n
    # This can be calculated recursively, e.g.:
    # f(2,  a,b,c) -> a^2 + ab + ac + b^2 + bc    + c^2
    #                 a(a+b+c)      + b(b+c)      + c(c)
    #                 a*f(1, a,b,c) + b*f(1, b,c) + c*f(1, c)
    if n <= 0:
        ret = 1
    elif n == 1:
        ret = sum(args)
    else:
        total = 0
        for i, a in enumerate(args):
            total += a * _coef(n - 1, *args[i:])
        ret = total
    return ret

def coef(n, *args):
    if n < len(args):
        return 0
    fail_factor = product((1 - a) for a in args)
    coef_factor = _coef(n - len(args), *args)
    return fail_factor * coef_factor

Toutes mes excuses aux utilisateurs de téléphones portables.

Pour le dé d4

+--------+---------------+--------------+---------------------+--------------------+
|   Uses |   Probability |   Cumulative | Probability Exact   | Cumulative Exact   |
+========+===============+==============+=====================+====================+
|      0 |    0          |     0        | 0                   | 0                  |
+--------+---------------+--------------+---------------------+--------------------+
|      1 |    0.75       |     0.75     | 3/4                 | 3/4                |
+--------+---------------+--------------+---------------------+--------------------+
|      2 |    0.1875     |     0.9375   | 3/16                | 15/16              |
+--------+---------------+--------------+---------------------+--------------------+
|      3 |    0.046875   |     0.984375 | 3/64                | 63/64              |
+--------+---------------+--------------+---------------------+--------------------+
|      4 |    0.0117188  |     0.996094 | 3/256               | 255/256            |
+--------+---------------+--------------+---------------------+--------------------+
|      5 |    0.00292969 |     0.999023 | 3/1024              | 1023/1024          |
+--------+---------------+--------------+---------------------+--------------------+

Pour le dé d6

+--------+---------------+--------------+---------------------+--------------------+
|   Uses |   Probability |   Cumulative | Probability Exact   | Cumulative Exact   |
+========+===============+==============+=====================+====================+
|      0 |   0           |     0        | 0                   | 0                  |
+--------+---------------+--------------+---------------------+--------------------+
|      1 |   0           |     0        | 0                   | 0                  |
+--------+---------------+--------------+---------------------+--------------------+
|      2 |   0.375       |     0.375    | 3/8                 | 3/8                |
+--------+---------------+--------------+---------------------+--------------------+
|      3 |   0.28125     |     0.65625  | 9/32                | 21/32              |
+--------+---------------+--------------+---------------------+--------------------+
|      4 |   0.164062    |     0.820312 | 21/128              | 105/128            |
+--------+---------------+--------------+---------------------+--------------------+
|      5 |   0.0878906   |     0.908203 | 45/512              | 465/512            |
+--------+---------------+--------------+---------------------+--------------------+
|      6 |   0.0454102   |     0.953613 | 93/2048             | 1953/2048          |
+--------+---------------+--------------+---------------------+--------------------+
|      7 |   0.0230713   |     0.976685 | 189/8192            | 8001/8192          |
+--------+---------------+--------------+---------------------+--------------------+
|      8 |   0.0116272   |     0.988312 | 381/32768           | 32385/32768        |
+--------+---------------+--------------+---------------------+--------------------+
|      9 |   0.00583649  |     0.994148 | 765/131072          | 130305/131072      |
+--------+---------------+--------------+---------------------+--------------------+
|     10 |   0.00292397  |     0.997072 | 1533/524288         | 522753/524288      |
+--------+---------------+--------------+---------------------+--------------------+
|     11 |   0.00146341  |     0.998536 | 3069/2097152        | 2094081/2097152    |
+--------+---------------+--------------+---------------------+--------------------+
|     12 |   0.000732064 |     0.999268 | 6141/8388608        | 8382465/8388608    |
+--------+---------------+--------------+---------------------+--------------------+

Pour le dé d8

+--------+---------------+--------------+-----------------------------------+---------------------------------------+
|   Uses |   Probability |   Cumulative | Probability Exact                 | Cumulative Exact                      |
+========+===============+==============+===================================+=======================================+
|      0 |   0           |     0        | 0                                 | 0                                     |
+--------+---------------+--------------+-----------------------------------+---------------------------------------+
|      1 |   0           |     0        | 0                                 | 0                                     |
+--------+---------------+--------------+-----------------------------------+---------------------------------------+
|      2 |   0           |     0        | 0                                 | 0                                     |
+--------+---------------+--------------+-----------------------------------+---------------------------------------+
|      3 |   0.140625    |     0.140625 | 9/64                              | 9/64                                  |
+--------+---------------+--------------+-----------------------------------+---------------------------------------+
|      4 |   0.193359    |     0.333984 | 99/512                            | 171/512                               |
+--------+---------------+--------------+-----------------------------------+---------------------------------------+
|      5 |   0.182373    |     0.516357 | 747/4096                          | 2115/4096                             |
+--------+---------------+--------------+-----------------------------------+---------------------------------------+
|      6 |   0.146942    |     0.6633   | 4815/32768                        | 21735/32768                           |
+--------+---------------+--------------+-----------------------------------+---------------------------------------+
|      7 |   0.108868    |     0.772167 | 28539/262144                      | 202419/262144                         |
+--------+---------------+--------------+-----------------------------------+---------------------------------------+
|      8 |   0.076694    |     0.848861 | 160839/2097152                    | 1780191/2097152                       |
+--------+---------------+--------------+-----------------------------------+---------------------------------------+
|      9 |   0.052294    |     0.901155 | 877347/16777216                   | 15118875/16777216                     |
+--------+---------------+--------------+-----------------------------------+---------------------------------------+
|     10 |   0.0348724   |     0.936028 | 4680495/134217728                 | 125631495/134217728                   |
+--------+---------------+--------------+-----------------------------------+---------------------------------------+
|     11 |   0.0228917   |     0.958919 | 24579819/1073741824               | 1029631779/1073741824                 |
+--------+---------------+--------------+-----------------------------------+---------------------------------------+
|     12 |   0.0148561   |     0.973775 | 127613079/8589934592              | 8364667311/8589934592                 |
+--------+---------------+--------------+-----------------------------------+---------------------------------------+
|     13 |   0.0095596   |     0.983335 | 656930547/68719476736             | 67574269035/68719476736               |
+--------+---------------+--------------+-----------------------------------+---------------------------------------+
|     14 |   0.00611204  |     0.989447 | 3360131775/549755813888           | 543954284055/549755813888             |
+--------+---------------+--------------+-----------------------------------+---------------------------------------+
|     15 |   0.00388868  |     0.993336 | 17102611899/4398046511104         | 4368736884339/4398046511104           |
+--------+---------------+--------------+-----------------------------------+---------------------------------------+
|     16 |   0.00246476  |     0.995801 | 86720945319/35184372088832        | 35036616020031/35184372088832         |
+--------+---------------+--------------+-----------------------------------+---------------------------------------+
|     17 |   0.00155764  |     0.997358 | 438436417347/281474976710656      | 280731364577595/281474976710656       |
+--------+---------------+--------------+-----------------------------------+---------------------------------------+
|     18 |   0.000982107 |     0.99834  | 2211509144655/2251799813685248    | 2248062425765415/2251799813685248     |
+--------+---------------+--------------+-----------------------------------+---------------------------------------+
|     19 |   0.000618109 |     0.998958 | 11134854544779/18014398509481984  | 17995634260668099/18014398509481984   |
+--------+---------------+--------------+-----------------------------------+---------------------------------------+
|     20 |   0.000388464 |     0.999347 | 55983509189559/144115188075855872 | 144021057594534351/144115188075855872 |
+--------+---------------+--------------+-----------------------------------+---------------------------------------+

Pour le dé d10

+--------+---------------+--------------+-----------------------------------------------------------------------------------+---------------------------------------------------------------------------------------+
|   Uses |   Probability |   Cumulative | Probability Exact                                                                 | Cumulative Exact                                                                      |
+========+===============+==============+===================================================================================+=======================================================================================+
|      0 |   0           |    0         | 0                                                                                 | 0                                                                                     |
+--------+---------------+--------------+-----------------------------------------------------------------------------------+---------------------------------------------------------------------------------------+
|      1 |   0           |    0         | 0                                                                                 | 0                                                                                     |
+--------+---------------+--------------+-----------------------------------------------------------------------------------+---------------------------------------------------------------------------------------+
|      2 |   0           |    0         | 0                                                                                 | 0                                                                                     |
+--------+---------------+--------------+-----------------------------------------------------------------------------------+---------------------------------------------------------------------------------------+
|      3 |   0           |    0         | 0                                                                                 | 0                                                                                     |
+--------+---------------+--------------+-----------------------------------------------------------------------------------+---------------------------------------------------------------------------------------+
|      4 |   0.0421875   |    0.0421875 | 27/640                                                                            | 27/640                                                                                |
+--------+---------------+--------------+-----------------------------------------------------------------------------------+---------------------------------------------------------------------------------------+
|      5 |   0.0875391   |    0.129727  | 2241/25600                                                                        | 3321/25600                                                                            |
+--------+---------------+--------------+-----------------------------------------------------------------------------------+---------------------------------------------------------------------------------------+
|      6 |   0.115989    |    0.245716  | 118773/1024000                                                                    | 251613/1024000                                                                        |
+--------+---------------+--------------+-----------------------------------------------------------------------------------+---------------------------------------------------------------------------------------+
|      7 |   0.125275    |    0.370991  | 5131269/40960000                                                                  | 15195789/40960000                                                                     |
+--------+---------------+--------------+-----------------------------------------------------------------------------------+---------------------------------------------------------------------------------------+
|      8 |   0.120353    |    0.491344  | 197186157/1638400000                                                              | 805017717/1638400000                                                                  |
+--------+---------------+--------------+-----------------------------------------------------------------------------------+---------------------------------------------------------------------------------------+
|      9 |   0.107255    |    0.598599  | 7029078021/65536000000                                                            | 39229786701/65536000000                                                               |
+--------+---------------+--------------+-----------------------------------------------------------------------------------+---------------------------------------------------------------------------------------+
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+--------+---------------+--------------+-----------------------------------------------------------------------------------+---------------------------------------------------------------------------------------+
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+--------+---------------+--------------+-----------------------------------------------------------------------------------+---------------------------------------------------------------------------------------+
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+--------+---------------+--------------+-----------------------------------------------------------------------------------+---------------------------------------------------------------------------------------+
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+--------+---------------+--------------+-----------------------------------------------------------------------------------+---------------------------------------------------------------------------------------+
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+--------+---------------+--------------+-----------------------------------------------------------------------------------+---------------------------------------------------------------------------------------+
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+--------+---------------+--------------+-----------------------------------------------------------------------------------+---------------------------------------------------------------------------------------+
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+--------+---------------+--------------+-----------------------------------------------------------------------------------+---------------------------------------------------------------------------------------+