Cette question est un exemple de la façon dont un DM doit gérer le concept de l'avocat des règles par rapport à la jouabilité du jeu.
Compte tenu de la manière dont les règles sont rédigées, il existe une faille qui peut être exploitée. Oui, il est possible d'enchaîner ces actions.
Cependant, d'un point de vue logique, prenez une minute pour réfléchir à ce que vous demandez. En un round (qui dure 6 secondes), pouvez-vous : vous déplacer de 120', changer de monture, puis vous déplacer à nouveau de 120', après que le cavalier attaque ensuite ?
Le cheval le plus rapide du monde peut parcourir 2 furlongs (1320 pieds) en 20,6 secondes, ce qui correspond à une vitesse de déplacement de 384'. Il s'agit là d'un galop complet, et non d'un départ arrêté. Même en supposant que le personnage va sauter entre les selles de chevaux en mouvement comme action de descendre/monter, ajouter une attaque à la fin du round étire la crédibilité au-delà du point de rupture.
Un bon DM dans D&D ne consiste pas seulement à respecter la lettre de la loi ; cela échouera absolument, parce qu'il n'y a aucun moyen d'écrire des règles qui couvrent toutes les situations possibles, et des questions comme la vôtre surgissent fréquemment lorsque des actions définies aboutissent à des résultats inattendus. La logique et la cohérence sont la voie à suivre, et être libre d'ignorer la lettre stricte des règles est un élément clé pour être un bon DM. Pas de manière capricieuse, mais lorsque les règles ne sont clairement pas rationnelles. C'est le cas ici.
TL;DR : Oui, c'est possible, selon la lettre de la loi. NON, un DM doit no permettent ce type d'exploitation des règles. En aucun cas, un mouvement supplémentaire ne devrait être autorisé après que le personnage a effectué lui-même son mouvement complet, à moins qu'il n'ait décidé de renoncer à toute autre action au cours du round.