Si je mets un cuivre et ajoute 4 cartes supplémentaires au hasard dans ma main à partir de mon deck de départ, est-ce que cela change les chances d'obtenir la répartition 5:2 ?

Question

Je réfléchissais à une situation où quelqu'un révèle accidentellement un cuivre de sa main de départ en mélangeant son deck ou découvre qu'il n'a que 9 cartes dans son deck de départ (et il est sûr d'avoir mis les 3 Domaines requis).

Si cette personne ajoutait un cuivre de la réserve à sa première main, et tirait 4 autres des 9 cartes restantes, est-ce que ses chances d'obtenir une main 5:2 ou 2:5 par rapport à une main 4:3 ou 3:4 seraient différentes que si elle tirait normalement une main de départ de 5 cartes d'un deck normal de 10 cartes? (Je comprends qu'une main 5:2 est légèrement différente d'une main 2:5, en ce sens qu'elle vous permet de modifier votre possible achat de pièces 2:5 après le premier achat d'un adversaire. Ce que je me demande, c'est si cela change les chances d'obtenir un partage 5:2 par rapport au partage plus probable 4:3).

Answer 1

Réponse courte:

Non.

Réponse longue:

Les chances d'obtenir une répartition 5:2 par rapport à une répartition plus courante 4:3 ne changent pas, même si la première carte est intentionnellement choisie pour être un cuivre.

Mathématiquement, cela peut être prouvé en utilisant la loi hypergéométrique. Ceci peut être calculé en utilisant la fonction suivante, où N est la taille du jeu, n est le nombre de cartes tirées, et m est le nombre de cuivres disponibles:

P(X=k) = (m parmi k) * ((N-m) parmi (n-k)) / (N parmi n)

Avec un jeu de départ normal, vous utiliseriez des valeurs de N=10, n=5 et m=7. Sans vous ennuyer avec les calculs, cela vous donnerait une répartition des résultats suivante:

2 cuivres: 1/12
3 cuivres: 5/12
4 cuivres: 5/12
5 cuivres: 1/12

Donc normalement, vous auriez une chance de 1/12 + 1/12 = 1/6 d'obtenir la répartition 5:2.

Maintenant, si la première carte est sélectionnée à l'avance pour être un cuivre, cela modifie nos chiffres de départ. Puisque la première carte est connue, votre tirage de départ serait effectivement un tirage de quatre cartes à partir d'un jeu de neuf cartes contenant uniquement six cuivres. En entrant les valeurs N=9, n=4 et m=6 dans notre fonction, nous obtenons le tableau suivant:

1 cuivre: 1/21
2 cuivres: 5/14
3 cuivres: 10/21
4 cuivres: 5/42

Même si la répartition des chiffres est significativement différente, vos chances d'une répartition 5:2 se résument à 1/21 + 5/42 = 7/42 = 1/6, ce qui est exactement la même chose qu'avant.

Cependant, notez que même si les chances de la répartition elle-même ne changent pas, en sélectionnant le premier cuivre, vous êtes maintenant plus de deux fois plus susceptible d'obtenir le tirage 5:2 que le tirage 2:5.

Answer 2

Je crois qu'une question équivalente par probabilité est "Si une seule carte révélée d'une main initiale est un cuivre, cela vous dit-il quelque chose sur le deck de départ?" L'ordre n'a pas d'importance (même dans votre situation exemple, car chaque main est garantie d'avoir du cuivre, le fait que la première carte soit du cuivre n'est pas significatif).

La règle de Bayes pour la probabilité conditionnelle dit que

P(A|B) = P(B|A) P(A) / P(B)

Laissez A être l'événement qu'il y ait une répartition 5:2 ou 2:5 et B être l'événement qu'une carte aléatoire révélée soit un cuivre.

Concernant P(B|A), le nombre de cuivres dans les deux premières mains est de 5:2. Peu importe quelle main est la première (le 5 ou le 2) est également probable, donc la probabilité de révéler un cuivre de la première main est la probabilité moyenne de révéler un cuivre des deux premières mains possibles, c'est-à-dire

P(B|A) = (1,00 + 0,40) / 2 = 0,70

Maintenant nous devons considérer le cas 4:3 pour calculer P(B). Si les deux premières mains sont en 4:3, les mêmes commentaires sur l'ordre s'appliquent, et la probabilité de révéler un cuivre est

P(cuivre révélé | 4:3) = (0,80 + 0,60) / 2 = 0,70

Ainsi, la probabilité de révéler un cuivre ne change pas en fonction d'une répartition 5:2 ou 4:3 donc P(B) = P(B|A) = 0,7. Mais ceci est la définition de l'indépendance statistique, et en revenant à la règle de Bayes originale, P(B) et P(B|A) peuvent être annulés, donc P(A|B) = P(A). Les chances d'une répartition 2:5 ne sont pas affectées par la révélation d'un cuivre dans la main.

C'est initialement plus contre-intuitif, mais il en découle directement qu'une première carte Domaine fournit également aucune information sur la répartition. (Dans tous les cas, P(domaine révélé) = 1 - P(cuivre révélé), donc nous aurions des 0,3 au lieu des 0,7.)

Answer 3

Savoir que la première carte est un cuivre (ou un domaine) ne biaise pas du tout la distribution 5/2. Cependant, savoir les deux premières cartes biaise la distribution. La meilleure justification que je peux trouver est de marquer un seul cuivre comme votre cuivre spécial. Si vous divisez les façons d'obtenir une répartition 5/2 en différentes classes en fonction de 10 emplacements possibles différents de ce cuivre spécial, chacun de ces 10 ensembles a une taille égale et un ratio égal de 5/2 par rapport a 4/3, donc vous ne m'avez vraiment rien dit sur la probabilité d'un 5/2 en me disant dans lequel de ces 10 sous-ensembles vous êtes.

Résultat de certaines simulations:

   0.16722
C  0.16752
CC 0.19536
CE 0.10769
E  0.16728
EE 0.37528

Voici le code Python qui a produit les nombres.

import random
import collections

def split_is_25(start):
  cur = start
  rest = []
  startC = start.count('C')
  startE = start.count('E')
  rest.extend(['C'] * (7 - startC))
  rest.extend(['E'] * (3 - startE))
  random.shuffle(rest)
  split = start + rest
  rand_split = [split[0:5].count('C'), split[5:10].count('C')]
  rand_split.sort()
  return rand_split[0] == 2

N = 100000
tests = ['', 'C', 'CC', 'CE', 'E', 'EE']
counts = collections.defaultdict(int)

for i in range(N):
  for test in tests:
    counts[test] += split_is_25(list(test))
for test in tests:
  print test, float(counts[test]) / N

Answer 4

Je ne suis pas tout à fait sûr de ce que vous voulez dire en révélant le cuivre, puis en continuant à mélanger. Si vous continuez à mélanger, alors vous n'avez pas encore terminé, et toutes les cartes révélées doivent être remises parmi les 10 cartes. Si vous commencez déjà à distribuer, alors les cartes sont fixées, auquel cas vous continuez à distribuer indépendamment de la carte révélée.

Néanmoins, prendre une décision basée sur une carte révélée changera les probabilités. Voici ce que je veux dire par décision :

J'essaye de manipuler le système, donc je mélange jusqu'à ce que je révèle accidentellement une carte. Si c'est un cuivre, je le laisse dans ma main de départ, mais si c'est une terre, je le remets dans le tas. J'ai considérablement augmenté mes chances d'avoir plus de cuivre dans ma main de départ.

REMARQUE : Ce scénario est équivalent à celui où je révèle intentionnellement le cuivre, car c'est simplement la même chose que de choisir la première carte de votre main, et de laisser le reste au hasard.

En bref, le fait de pouvoir choisir votre première carte (au lieu qu'elle soit aléatoire) affecte définitivement les probabilités d'obtenir une main particulière.