Est-ce la bonne formule pour calculer le nombre total de permutations d'un jeu de dés ?

Question

Je sais que le nombre total de permutations (binomial) sur le lancer de \N\N$ pièces équitables est donné par :

$$ \mathrm {Total} = 2^n$$

Qu'en est-il des dés ? Si je prends des dés et que je les lance à 4 \mathrm {d}2 + 4 \mathrm {d}4 + 6 \mathrm {d}3\$, est le nombre total de permutations donné par cette formule ?

$$ \mathrm {Total} = 4^2 \times 4^4 \times 6^3$$

Answer 1

Les permutations de dés sont calculées comme des "permutations avec répétition/remplacement", ce qui signifie, intuitivement, que si vous lancez 2d6, obtenir un 6 sur le premier dé ne vous empêche pas d'obtenir un 6 sur le deuxième dé. (Par opposition à "Permutations sans répétition/remplacement". Un exemple de cela est de mettre six feuilles de papier numérotées dans une urne et d'en tirer deux, littéralement sans remplacer la première feuille avant de tirer la seconde - maintenant, obtenir un 6 sur la première feuille vous empêche d'obtenir un 6 sur la seconde).

Le calcul des permutations avec répétition est très facile. Je vais développer l'intuition en quelques étapes :

1. Envisagez de lancer 1d6. Le nombre de permutations est, trivialement, de 6 :

\begin {array}{r|llllll} \text {Die One} & \text {1} & \text {2} & \text {3} & \text {4} & \text {5} & \text {6} \\ \hline \end {array}

Je note au passage que \$ 6^1 \$ est \$ 6 \$ et que nous pourrions l'utiliser pour n'importe quel lancer de dé à Y faces : $$$. \text {1dY} \rightarrow Y^1 = Y $$$

2. Envisagez de lancer 2d6 :

\begin {array}{r|llllll} \text {Die Two \Die Un} & \text {1} & \text {2} & \text {3} & \text {4} & \text {5} & \text {6} \\ \hline 1 & \text {1,1} & \text {1,2} & \text {1,3} & \text {1,4} & \text {1,5} & \text {1,6} \\ 2 & \text {2,1} & \text {2,2} & \text {2,3} & \text {2,4} & \text {2,5} & \text {2,6} \\ 3 & \text {3,1} & \text {3,2} & \text {3,3} & \text {3,4} & \text {3,5} & \text {3,6} \\ 4 & \text {4,1} & \text {4,2} & \text {4,3} & \text {4,4} & \text {4,5} & \text {4,6} \\ 5 & \text {5,1} & \text {5,2} & \text {5,3} & \text {5,4} & \text {5,5} & \text {5,6} \\ 6 & \text {6,1} & \text {6,2} & \text {6,3} & \text {6,4} & \text {6,5} & \text {6,6} \\ \end {array}

Vous pouvez compter les entrées du tableau et obtenir 36. Mais vous pouvez aussi considérer cela comme une extension du tableau pour un jet de 1d6 : Chacune des six entrées du premier tableau est transformée en une nouvelle liste distincte avec six entrées uniques. En effet, quel que soit le résultat obtenu sur le premier dé, on peut obtenir n'importe laquelle des six valeurs sur le deuxième dé. Nous pouvons donc simplement calculer 6 fois 6 entrées = 36. Si nous généralisons cela à deux dés, chacun avec Y faces, cela nous laisse avec :

$ \text {2dY} \rightarrow Y^2 $$

3. Envisagez de lancer 3d6. Je ne vais pas dessiner le grand tableau, mais en prolongeant ce que nous avons fait plus haut, nous transformons chacune des 36 entrées du tableau en une liste unique de six autres entrées. (Parce qu'encore une fois, peu importe ce que nous obtenons sur les deux premiers dés, nous pouvons obtenir n'importe laquelle des six valeurs pour le troisième).

Pour le cas spécifique de 3d6, nous aurions 36 fois 6 = 216 entrées.

Ce processus de réflexion de base s'applique à tout dé à Y faces que l'on lance X fois, c'est-à-dire $$ \text {XdY} \rightarrow Y^X $$$

Notez que le X et le Y s'intervertissent de part et d'autre de l'expression ! Il ne s'agit pas d'une erreur.

3. Mais qu'en est-il de quelque chose d'étrange, comme 1d6 + 1d4 ? Le même processus de base :

\begin {array}{r|llllll} \text {Die Two \Die Un} & \text {1} & \text {2} & \text {3} & \text {4} & \text {5} & \text {6} \\ \hline 1 & \text {1,1} & \text {1,2} & \text {1,3} & \text {1,4} & \text {1,5} & \text {1,6} \\ 2 & \text {2,1} & \text {2,2} & \text {2,3} & \text {2,4} & \text {2,5} & \text {2,6} \\ 3 & \text {3,1} & \text {3,2} & \text {3,3} & \text {3,4} & \text {3,5} & \text {3,6} \\ 4 & \text {4,1} & \text {4,2} & \text {4,3} & \text {4,4} & \text {4,5} & \text {4,6} \\ \end {array}

Notez simplement que chacune des six entrées du premier dé ne correspond qu'à QUATRE entrées du deuxième dé. Dans l'expression ci-dessous, j'utilise les valeurs Y avec des indices

$ \text {1dY}_1 + \text {1dY}_2 \rightarrow Y_1^1 \times Y_2^1 $$

4. Peu importe le degré de bizarrerie à partir de là, tant qu'il s'agit de dés simples, il suffit de multiplier par le nombre de faces du nouveau dé que l'on vient d'ajouter. La formule complète dans toute sa généralité devient :

$ \text {X}_1 \text {dY}_1 + \text {X}_2 \text {dY}_2 + \dots + \text {X}_N \text {dY}_N \rightarrow Y_1^{X_1} \times Y_2^{X_2} \dots Y_N^{X_N}$$

5. Enfin, l'ajout d'une constante (par exemple, 3d6 + 6) ne change rien et la constante peut être ignorée pour trouver le nombre de permutations. Techniquement, on pourrait considérer qu'il s'agit d'un "dé à une face" et le multiplier par un, mais c'est un peu précieux.

Pour votre exemple spécifique, il y a 2 985 984 permutations :

\begin {array}{r|llll} \ N & X_N & Y_N & {Y_N ^ {X_N}} \\ \hline 1 & \text {4} & \text {2} & \text {16} \\ 2 & \text {4} & \text {4} & \text {256} \\ 3 & \text {6} & \text {3} & \text {729} \\ \hline \text {produit} & \text { } & \text { } & \text {2985984} \\ \end {array}

Answer 2

Chaque dé est un événement indépendant. Le nombre correct de permutations est \$ 2^4 4^4 3^6 \$.