Quelle est l'équité d'un mélange des cartes presque parfait ?

Question

Je me suis entraîné à faire un riffle shuffle entre les mains, juste pour qu'il ait l'air et qu'il sonne bien. Ce faisant, j'ai remarqué que j'étais capable d'entrelacer les cartes. presque parfaitement.

Un shuffle presque parfait.

Est-ce qu'un tel presque Un mélange parfait, répété un nombre raisonnable de fois, est-il moins équitable qu'un mélange comportant une plus grande proportion d'imperfections ?

Nota

La question porte sur presque des mélanges parfaits. Il est évident qu'un mélange parfait ne rend pas du tout le jeu aléatoire, comme le savent tous ceux qui ont vu un magicien mélanger un faro.

Le simple fait d'observer qu'un mélange presque parfait rend les cartes moins aléatoires n'est pas une réponse. La prémisse de la question affirme implicitement que. Combien Est-ce qu'un mélange riffle presque parfait randomise ou ne randomise pas le jeu ? Huit mélanges presque parfaits ne permettent-ils pas de réorganiser le jeu, avec peut-être une douzaine de cartes dans le désordre ? Ou bien les erreurs s'accumulent-elles à chaque mélange, de sorte qu'il est vraiment impossible de mélanger le jeu de façon déloyale si le mélange est effectué N fois ? Quelle doit être la taille de N ?

S'il vous plaît, pas de spéculations ni de suppositions. Citez vos sources ou faites des calculs.

Answer 1

Un mélange presque parfait d'un jeu de 52 cartes n'est pas parfaitement aléatoire, mais devrait être suffisamment équitable pour un usage occasionnel.

J'ai décidé de tester cela de manière expérimentale. J'ai codé une fonction python rapide* pour effectuer des riffs et des riffs presque parfaits.

Lors d'un riffle parfait, le code prend un "paquet" d'entiers et les réarrange de manière à ce que la première moitié et la seconde moitié soient entrelacées, de sorte que le paquet

[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51]

devient

[26, 0, 27, 1, 28, 2, 29, 3, 30, 4, 31, 5, 32, 6, 33, 7, 34, 8, 35, 9, 36, 10, 37, 11, 38, 12, 39, 13, 40, 14, 41, 15, 42, 16, 43, 17, 44, 18, 45, 19, 46, 20, 47, 21, 48, 22, 49, 23, 50, 24, 51, 25]

Pour un riffle imparfait, la fonction ajoute un défaut lorsque deux nombres sont maintenus ensemble sans qu'un nombre de l'autre moitié n'intervienne. Par exemple, l'intervalle 0-51 pourrait devenir

[26, 0, 27, 1, 28, 2, 29, 3, 30, 4, 31, 5, 32, 6, 33, 7, 34, 8, 35, 9, 36, 10, 37, 11, 38, 12, 39, 13, 40, 14, 41, 15, 42, 16, 43, 17, 44, 18, 45, 19, 46, 20, 47, 21, 22 , 48, 23, 49, 24, 50, 25, 51]

Le défaut est ajouté à un point aléatoire pendant l'entrelacement.

---

En répétant 7 fois le mélange parfait d'un jeu de 52 cartes, on obtient un schéma très régulier :

[40, 28, 16, 4, 45, 33, 21, 9, 50, 38, 26, 14, 2, 43, 31, 19, 7, 48, 36, 24, 12, 0, 41, 29, 17, 5, 46, 34, 22, 10, 51, 39, 27, 15, 3, 44, 32, 20, 8, 49, 37, 25, 13, 1, 42, 30, 18, 6, 47, 35, 23, 11]

Le mélange imparfait, quant à lui, génère un motif unique à chaque fois. Voici un exemple

[31, 0, 38, 51, 26, 8, 44, 29, 14, 36, 2, 20, 3, 5, 27, 46, 24, 33, 32, 17, 40, 25, 10, 22, 48, 30, 35, 1, 50, 42, 7, 12, 45, 13, 39, 37, 19, 43, 4, 18, 28, 34, 15, 23, 16, 41, 6, 11, 21, 49, 9, 47]

Cela semble assez aléatoire. Mais est-ce bien le cas ? J'ai décidé de procéder à une simulation de Monte Carlo et j'ai "mélangé" le jeu 100 000 fois pour voir comment les nombres se répartissaient.

Il s'avère que ce n'est pas aussi aléatoire qu'il n'y paraît. Dans un mélange parfaitement aléatoire, chaque nombre devrait avoir une chance sur deux (1,92 %) d'apparaître dans n'importe quelle position. Or, selon mes résultats, les probabilités varient de 0,02 % à 18,5 %. C'est beaucoup plus probable que 1,92 %.

Mais s'il n'est pas bon que la carte 10 se retrouve dans l'emplacement 26** 18 % du temps, il n'est pas non plus facile d'en abuser. Saviez-vous ce qu'était la carte n° 10 ? Vous souciez-vous de la carte 26 ? Votre objectif n'est pas d'obtenir un jeu aléatoire, mais plutôt un jeu équitable. Cela signifie qu'un peu d'aléatoire est acceptable, tant qu'aucun joueur n'en profite. 7 mélanges presque parfaits laissent des motifs qui pourraient être exploités, mais ils sont suffisamment complexes pour que vous deviez y consacrer beaucoup de temps et d'énergie.

De plus, il est facile d'ajouter des éléments aléatoires en coupant le jeu ou en effectuant quelques mélanges supplémentaires. En outre, j'ai très certainement sous-estimé la part d'aléatoire, puisque le "riffle presque parfait" illustré dans l'OP présente 3 défauts au lieu d'un, et que les mélangeurs ne diviseront pas toujours parfaitement le jeu en deux comme je l'avais supposé.

En définitive, je ne pense pas que vous ayez à craindre que vos excellents talents de riffleur ne perturbent vos jeux de cartes. Mais soyez prudent si vous jouez avec des compteurs de cartes professionnels.

---

*Je peux partager le code si cela intéresse quelqu'un, mais il n'est pas vraiment pertinent.

**Ou peut-être l'inverse. Il m'arrive de confondre mes axes.

Answer 2

Un mélange parfait n'est pas très efficace pour randomiser les cartes. Les cartes d'une moitié du jeu sont (parfaitement ?) intercalées avec celles de l'autre moitié, sans modifier l'ordre des cartes par rapport à leurs voisines précédentes, mais en laissant entre elles au moins zéro carte (une, dans un mélange parfait d'un jeu parfaitement coupé) de l'autre moitié.

Il existe d'autres mélanges qui permettent une bien meilleure randomisation (bien qu'un "52 pick-up" soit trop lent pour la plupart des joueurs de cartes et présente le risque d'"égarer" des cartes). Cependant, un mélange à la volée a un aspect et une sonorité agréables, il se prête à la mise en place d'un "pont" par la suite et peut être facilement défait par un manipulateur de cartes (ce qui, avec son aspect et sa sonorité, explique pourquoi il est populaire auprès des magiciens des cartes).

Answer 3

Le but d'un mélange est d'éliminer la connaissance de l'ordre du jeu.

Un mélange parfait (qui suit un schéma gauche-droite-gauche-droite...) n'élimine aucune connaissance. Il est possible de déterminer, à partir de l'état initial, la position exacte de toutes les cartes après un mélange parfait.

Pour éliminer la connaissance, il faut introduire le hasard. Pour un riffle, cela signifie ne pas savoir de quel côté viendra la carte suivante, en supposant que nous sachions de quel côté est venue la dernière carte. Un tel riffle peut fournir une randomisation efficace après sept riffles.

Il est évident que si vous en savez plus sur la carte suivante, vous en savez plus sur la destination de chaque carte. Plus vous vous rapprochez d'un riffle parfait, plus vous avez de chances de vous rapprocher de l'ordre original. Par exemple, si deux "erreurs" seulement sont commises, on peut s'attendre à ce que quatre cartes au maximum ne soient pas dans l'ordre prévu pour un tirage parfait. Un plus grand nombre d'"erreurs" vous rapproche d'un riffle aléatoire, mais il est intéressant de noter qu'un taux d'erreur de 100 % équivaut, en termes de connaissances, à un taux d'erreur de 0 %. Un taux d'erreur aussi proche que possible de 50 % permet d'obtenir la meilleure randomisation, ce qui équivaut à l'affirmation précédente (nous devons en savoir le moins possible sur le côté d'où vient la carte suivante).

Ainsi, un mélange presque parfait ne désordonnera pas le jeu autant qu'un mélange qui comporte beaucoup plus d'erreurs, mais ne sera pas pire qu'un mélange qui comporte presque toutes les erreurs possibles.

Cependant, cela ne concerne qu'un seul riffle. Ce n'est pas le cas dans la pratique du brassage des jeux de cartes, où l'on procède à de nombreuses répétitions. En supposant que nous ne sachions pas où se trouvent les erreurs, le fait d'avoir moins d'erreurs signifie simplement que nous avons besoin de plus de mélanges pour nous assurer que chaque carte a eu l'occasion d'être exposée à au moins une erreur. En sachant que chaque carte peut être erronée et en ignorant l'ordre de ces erreurs, nous réduisons la connaissance de l'ordre jusqu'à ce qu'elle soit équivalente à celle d'une devinette aléatoire.

Pour un riffle aléatoire, cela représente environ sept répétitions. Pour un mélange presque parfait, il s'agit probablement de plusieurs centaines de répétitions.