Quelle est la probabilité d'obtenir au moins un 10 avant un 1 sur un d20?

Question

Je dois obtenir au moins 10 sur un d20. Je peux lancer jusqu'à ce que j'y arrive, ou que j'obtienne un 1. Quelle est la chance que je réussisse? Je voudrais avoir la formule générale, pas seulement pour 10.

La chance de succès à la première tentative est de 55% (11/20). Si je n'y arrive pas, ce qui a une chance de 40%, je peux réessayer avec la même chance, donc cela devrait être:

$$ 0,55 + 0,4 \times 0,55 + (0,4\times0,55)^2 + {...} + (0,4 \times 0,55)^n $$

Généralement (TN = nombre cible)

$$ \frac{21-TN}{20} + \frac{TN-2}{20}\times\frac{21-TN}{20} + {...} $$

Mais comment calculer la somme de ceci?

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(La question est très vaguement liée à Pathfinder 2e, donc j'ai omis intentionnellement l'étiquette. Mais edgerunner a demandé, donc le voici.

Si vous avez le tour de compétence Objet Magique, vous pouvez essayer de lancer un Vent Arrière de 2ème rang à partir d'une Baguette Magique. Il dure 8 heures, donc vous pouvez essayer cela avant que votre journée d'aventure commence. Comme personne ne vous presse, vous pouvez essayer jusqu'à ce que vous réussissiez, ou jusqu'à ce que vous échouiez critiquement, ce qui n'arrive que sur un 1 au moment où vous pouvez vous permettre une baguette de niveau 5. Il n'y a aucune conséquence à obtenir 2-9, à part gaspiller votre tour, ce qui n'est pas un problème en dehors des combats.)

Answer 1

Utilisons la série géométrique omniprésente.

La probabilité d'obtenir au moins un 10 est de 11/20, tandis que la probabilité de relancer est de 8/20: donc la formule correcte est $$ P(10^+) = \frac{11}{20} + \frac{8}{20}\frac{11}{20} +\left(\frac{8}{20}\right)^2\frac{11}{20} + \left(\frac{8}{20}\right)^3\frac{11}{20}+... $$ à savoir, la probabilité d'obtenir un nombre supérieur ou égal à 10 au 1er essai, plus la probabilité d'obtenir moins de 10 (mais pas 1) au 1er lancer et supérieur ou égal à 10 au deuxième, et ainsi de suite. Cela s'additionne à $$ P(10^+) = \frac{11}{20}\sum_{i=0}^\infty\left(\frac{8}{20}\right)^i = \frac{11}{12}. $$

Pour une cible générale t, la formule devient $$ P(t^+) = \frac{21-t}{20}\sum_{i=0}^\infty\left(\frac{t-2}{20}\right)^i = \frac{21-t}{22-t}. $$

Le terme dans la série est t-2 car il faut considérer le nombre de cas où le lancer est inférieur à t et différent de un: il y a 20-(21-t)-1=t-2.

Le tableau suivant fournit les probabilités pour chaque cible dans \$\{2,3,\dots,20\}\$ et, pour comparaison, les résultats de simulation obtenus via MatLab.

Cible

Simulation

Théorique

2

95.01

95.00

3

94.75

94.74

4

94.44

94.44

5

94.11

94.12

6

93.77

93.75

7

93.32

93.33

8

92.85

92.86

9

92.31

92.31

10

91.71

91.67

11

90.92

90.91

12

90.04

90.00

13

88.88

88.89

14

87.42

87.50

15

85.68

85.71

16

83.34

83.33

17

79.95

80.00

18

74.96

75.00

19

66.71

66.67

20

49.97

50.00

Une solution élégante, sans la série géométrique

Une autre façon d'obtenir la même formule est donnée par l'approche élégante de la réponse d'ApexPolenta sur answer: la probabilité d'obtenir un résultat supérieur à 10 est $$ P(10^+) = \frac{11}{20} + \frac{8}{20}P(10^+) $$ et en résolvant pour \$P(10^+)\$ on obtient à nouveau
$$ \begin{eqnarray*} P(10^+) &=& \frac{11}{20} + \frac{8}{20}P(10^+)\\\\ P(10^+) - \frac{8}{20}P(10^+)&=& \frac{11}{20} \\\\ \frac{12}{20}P(10^+)&=& \frac{11}{20} \\\\ P(10^+)&=&\frac{11}{12} \end{eqnarray*}. $$

Généralisation à un dé avec d faces.

Une généralisation directe de la probabilité d'obtenir au moins t, dans ces règles, avec un dé à d faces est la suivante: $$ P(t^+) = \frac{d+1-t}{d+2-t} = \frac{d-(t-1)}{d-(t-1)+1} = \frac{r}{r+1} $$ où r=d-(t-1). Notez que r correspond exactement aux succès, tandis que r+1 est le nombre de cas possibles selon les règles actuelles. Ainsi, la probabilité est en réalité indépendante du nombre de faces1.

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1Crédits à GentlePurpleRain pour cette remarque astucieuse, soulignée dans les commentaires.

Answer 2

Vous n'avez pas besoin de comprendre les séries pour cela

... bien que des exemples comme celui-ci soient un excellent moyen de comprendre les séries et/ou de prouver la formule.

Au lieu de cela: supposez que votre probabilité de succès est \$p\$ . Comment allons-nous résoudre cela?

55% du temps (lancers de 10 à 20 inclus), vous savez que vous réussissez au premier lancer. 5% du temps (sur un 1), vous savez que vous échouez au premier lancer. Les 40% restants du temps, le premier lancer est un 2 à 9 inclus... et vous êtes exactement où vous avez commencé : votre probabilité de succès conditionnelle à ce moment est \$p\$ , comme cela l'était au début. Vous n'avez pas obtenu d'information.

Par conséquent, la probabilité globale de succès est \$p = 0.55 \cdot 1 + 0.05 \cdot 0 + 0.40 \cdot p\$, les résultats probables après le premier lancer, pondérés par les probabilités de ces premiers résultats de lancer.

C'est de l'algèbre simple pour résoudre cela en regroupant les termes: \$0.60 \cdot p = 0.55 \cdot 1 + 0.05 \cdot 0\$ ; donc $$ p = \displaystyle\frac{0.55 \cdot 1 + 0.05 \cdot 0}{0.60}. $$

Mais c'est encore plus simple de regarder ce résultat et de voir que nous pouvons y arriver en ignorant simplement les cas sans information. 60% du temps (12 faces de dé), nous obtenons des informations sur le résultat (en fait, nous obtenons toutes les informations). Une de ces faces de dé représente immédiatement un échec, et les 11 autres représentent un succès. Nous avons en fait simplement réduit le d20 à un d12, et notre chance de succès est de 11/12.

Et, naturellement, cela se généralise : si chaque résultat de dé représente soit un succès immédiat, un échec immédiat ou "recommencez et relancez", alors nous pouvons calculer le résultat en supposant simplement que le dernier type de face de dé n'existe pas. Nous calculons simplement \$\ displaystyle\frac{s}{s + f}\$ où \$s\$ est le nombre de faces de dé représentant le succès et \$f\$ est le nombre de faces de dé représentant l'échec.

Parce que la somme de la série géométrique doit également nous donner la bonne réponse, alors, il en découle que nous pouvons égaler la somme au résultat plus facilement calculé, et ainsi prouver la formule.

Answer 3

Lorsque nous lançons le dernier d20, nous pouvons ignorer les résultats de 2 à 9, car ils ne peuvent pas se produire. Par conséquent, il y a 12 résultats possibles : 1 et 10-20, chacun ayant une probabilité égale, à savoir 1/12. Ainsi, la probabilité de l'événement le plus élevé est de 11/12.

Comparé à cette réponse précédente.

Answer 4

Probabilité conditionnelle

Nous pouvons quelque peu formaliser les réponses de Karl Knechtel et Daniel R. Collins en utilisant la probabilité conditionnelle:

$$ P \left(A | B \right) = \frac{P \left(A \cap B\right)}{P\left( B \right)} $$

Dans ce cas :

• \$P \left(A | B \right)\$ est la chance d'obtenir un succès sur un d20, conditionné à l'arrêt de lancer de ce dé.
• \$P \left(A \cap B\right) = s\$ est la chance d'obtenir un succès sur un d20.
• \$P \left(B\right) = s + f\$ est la chance d'arrêter de lancer un d20.

Par conséquent, nous pouvons vraiment simplement supprimer tous les nombres relancés du dénominateur.

Rerolls limités

L'approche en séries géométriques de Eddymage, bien qu'impliquant une somme de séries plus complexe, présente un autre avantage: elle se prête naturellement aux cas où la profondeur des relances est limitée. Si nous sommes autorisés jusqu'à \$d\$ relances, la probabilité de succès est la chance combinée de relancer \$i\$ fois puis de réussir au \$i+1\$ème lancer. L'expression pour une somme partielle d'une série géométrique donne alors la chance de succès comme

$$ \sum_{i=0}^{d} s \left(1 - s - f\right)^i = s \frac{1 - \left(1 - s - f\right)^{d+1}}{s + f} $$

et de manière similaire pour échouer sur un 1 :

$$ f \frac{1 - \left(1 - s - f\right)^{d+1}}{s + f} $$

La chance d'échouer sur un nombre qui aurait été relançable si nous n'avions pas atteint la profondeur maximale (par exemple 2-9 dans la question originale) est la probabilité que nous épuisions toutes les \$d\$ relances, puis tirions un de ces nombres :

$$ \left(1 - s - f\right)^{d+1} $$

Par exemple, cela pourrait représenter une situation où un monstre défonce votre porte et vous avez \$d+1\$ tentatives pour tromper un objet magique et vous échapper à temps.

Implémentation d'exemple

En effet, c'est comment j'ai implémenté les relances dans mon package de probabilité Icepool en Python:

if depth is None:
    data = {
        outcome: quantity
        for outcome, quantity in self.items()
        if outcome not in outcome_set
    }
elif depth < 0:
    raise ValueError('la profondeur de reroll ne peut pas être négative.')
else:
    total_reroll_quantity = sum(quantity
                                for outcome, quantity in self.items()
                                if outcome in outcome_set)
    total_stop_quantity = self.denominator() - total_reroll_quantity
    rerollable_factor = total_reroll_quantity**depth
    stop_factor = (self.denominator()**(depth + 1) - rerollable_factor
                   * total_reroll_quantity) // total_stop_quantity
    data = {
        outcome: (rerollable_factor *
                  quantity if outcome in outcome_set else stop_factor *
                  quantity)
        for outcome, quantity in self.items()
    }
return icepool.Die(data)

Il y a un peu plus de travail à faire ici car j'ai décidé d'utiliser des quantités entières non normalisées pour éviter les problèmes de précision en virgule flottante.

Answer 5

Vous avez la bonne mathématique, mais vous vous préoccupez du mauvais résultat.

Puisque la chance d'échec est plus petite, vous devriez déterminer quelle est la chance d'échec, puis obtenir la chance de succès à partir de cela. Vous savez que vous êtes plus susceptible de gagner, alors ce que vous voulez vraiment savoir, c'est à quel point vous allez perdre?

Et la chance d'échec converge vers environ 9% après 4 itérations. Les formules que d'autres ont fournies disent que c'est vraiment autour de 9,1%, mais après 3 itérations, c'est à ~8%, ce qui n'est décalé que de 1,1%. Avez-vous besoin de plus de précision que ~8%?

Premier lancer : 5% d'échec, 40% de relance, 55% de réussite.

Deuxième lancer (40% de chance * Probabilités du Premier Lancer) : 2% d'échec, 16% de relance, 22% de réussite.

Troisième lancer : 0,8% d'échec, 6,4% de relance, 8,8% de réussite.

Quatrième lancer : 0,32% d'échec...