Mon impression est que que ce soit toi ou le familier, l'économie d'action est la même.
De Reload sur PHB-279:
Alors que toutes les armes ont besoin d'un certain temps pour se mettre en position, de nombreuses armes de jet doivent également être chargées et rechargées. Cette entrée indique combien d'actions d'interaction il faut pour recharger de telles armes.
Ainsi, l'action d'interaction est spécifiquement pour charger la flèche dans l'arbalète et la préparer à être tirée.
Maintenant pour le familier:
Même si vous partagez un espace, vous et votre familier êtes deux créatures différentes. Les règles pour dessiner des objets sont dans le tableau 6-2 sur PHB-273.
Transmettre un objet à une créature consentante ou prendre un objet dans les mains d'une créature consentante(2): Interagir.
2: Une créature doit avoir une main libre pour qu'une personne lui transmette un objet, et elle peut alors avoir besoin de changer de prise si elle reçoit un objet nécessitant deux mains pour être utilisé ou manié.
C'est un peu étrange car vous auriez techniquement besoin de remettre la flèche au familier, mais le Guide des joueurs avancé a corrigé cela avec Valet (APG-147):
Valet: Vous pouvez commander à votre familier de vous apporter des objets de manière plus efficace. Votre familier n'utilise pas immédiatement ses 2 actions après votre commande. Au lieu de cela, jusqu'à deux fois avant la fin de votre tour, vous pouvez faire interagir votre familier pour récupérer un objet de faible ou de négligeable encombrement que vous portez et le placer dans l'une de vos mains libres. Le familier ne peut pas utiliser cette capacité pour récupérer des objets rangés. Si le familier a un nombre d'actions différent, il peut récupérer un objet pour chaque action qu'il possède lorsqu'il est commandé de cette manière.
Valet dit expressément "le placer dans l'une de vos mains libres" mais un bon MdJ laissera probablement le familier livrer à l'arbalète à la place.
Mais même avec la flèche en place, l'arbalète n'est pas rechargée. L'action d'interaction consiste à tirer la corde de l'arc et la charger pour qu'elle puisse être tirée à nouveau. Donner à votre familier Dextérité Manuelle (PHB-218) pour effectuer des actions de manipulation lui donne la capacité d'interagir avec l'arbalète pour la charger.
Mettre tout cela ensemble:
Le familier utilise sa première action d'interaction de Valet pour aller chercher la flèche auprès de vous. Puis sa deuxième action de manipulation pour charger effectivement l'arbalète. Cela signifie que votre économie d'action est toujours soit [Attaque, Rechargement, Attaque] ou [Attaque, Commande (valet + rechargement), Attaque]. Le tour suivant devra commencer par un rechargement de toute façon.
Pour l'alchimiste en particulier, Valet peut être un moyen de tirer des bombes ou des armes de jet de manière plus efficace, mais cela ne semble pas aider avec les arbalètes.