Probabilité de l'événement i et de l'événement j sur n dés

Question

Je suis en train d'essayer de calculer la probabilité pour un jeu utilisant des dés à 6 faces. L'idée de base est que le joueur lance n dés et obtient un succès pour chaque 6 lancé. Jusque-là, tout est simple ; j'utilise la fonction scipy.binom.pmf de Python qui donne la probabilité d'obtenir i succès sur n dés avec un certain chance de succès, 1/6 dans ce cas.

Mais le jeu offre un "bonus". Avec le bonus, en plus de 6s étant un succès, un 5 dans le lancer est également un succès. (Donc un lancer de 2, 3, 5, 5, 6, 6 serait deux succès normalement, mais trois avec le bonus.)

Comment puis-je calculer la probabilité de i succès sur n dés avec cette condition de bonus?

Answer 1

P(i succès) = ((# de façons d'obtenir i 6s et aucun 5) + (# de façons d'obtenir i-1 6s et quelques 5)) / 6^n

(# de façons d'obtenir i 6s et aucun 5) = (n choisissent i) * 1^i * 4^(n-i) [choisir quelles dés doivent être des 6, 1 façon pour que chacun d'eux soit un 6, 4 façons pour que chacun des autres ne soit ni 6 ni 5]

(# de façons d'obtenir i-1 6s et quelques 5) = (n choisissent i-1) * 1^(i-1) * (5^(n-(i-1)) - 4^(n-(i-1))) [choisir quelles dés doivent être des 6, 1 façon pour que chacun d'eux soit un 6, 5 façons pour que chacun des autres ne soit pas un 6 sauf que nous comptons trop les 4^(n-(i-1)) façons où ils ne sont tous ni 6 ni 5]

En laissant tomber les puissances inutiles de 1, votre probabilité globale peut être calculée exactement comme suit:

[Remarque: J'utilise la convention que (n choisissent -1) = 0, contrairement à la fonction math.comb de Python qui n'accepte pas les valeurs négatives.]

Answer 2

J'ai utilisé le site web [Any Dice] pour résoudre cela.

Le code ci-dessous n'est probablement pas le plus propre, mais j'ai seulement appris ce site aujourd'hui. La fonction ci-dessous comptera 1 succès s'il y a au moins un 5 et ajoutera à cela combien de six ont été tirés. Cela donne des résultats jusqu'à 5d6.

function: contains VALUES:s in SEQUENCE:s {
 FIVES: 0
 SIXES: 0
 loop P sur {1..#VALUES} {
 if (5 = SEQUENCE) {
  if FIVES = 0 {
   FIVES: 1
  }
 }
  SIXES: SIXES + (P@VALUES = SEQUENCE)
 }
 result: FIVES + SIXES
}

output [contains { 6 } in d6]
output [contains { 6 } in 2d6] 
output [contains { 6 } in 3d6] 
output [contains { 6 } in 4d6] 
output [contains { 6 } in 5d6] 

Voici les résultats que j'ai formatés un peu plus lisiblement que le site anydice me donne. Si vous lancez 1d6, la probabilité d'1 succès (un 6 ou un 5) est de 33,3%

Si vous lancez 3d6. la probabilité de 2 succès est de 18,05% (c'est soit 2 6 et aucun 5, soit un 6 et au moins un 5)

1d6
0 succès, 66,6666666667
1 succès, 33,3333333333

2d6
0 succès, 44,4444444444
1 succès, 47,2222222222
2 succès, 8,33333333333

3d6
0 succès, 29,6296296296
1 succès, 50,462962963
2 succès, 18,0555555556
3 succès, 1,85185185185

4d6
0 succès, 19,7530864198
1 succès, 48,225308642
2 succès, 26,2345679012
3 succès, 5,4012345679
4 succès, 0,385802469136

5d6
0 succès, 13,1687242798
1 succès, 43,4799382716
2 succès, 31,9573045267
3 succès, 9,90226337449
4 succès, 1,4146090535
5 succès, 0,0771604938272