Versatile ne change que les dés de dégâts que vous utilisez, et finesse ne change que le modificateur de caractéristique que vous pouvez utiliser.
En regardant les définitions de finesse et de versatile nous avons :
Finesse : Lorsque vous effectuez une attaque avec une arme à finesse, vous utilisez votre choix de votre modificateur de Force ou de Dextérité pour les jets d'attaque et de dégâts. Vous devez utiliser le même modificateur pour les deux jets.
Versatile : Cette arme peut être utilisée à une ou deux mains. Une valeur de dégâts entre parenthèses apparaît avec la propriété - les dégâts lorsque l'arme est utilisée à deux mains pour effectuer une attaque en mêlée.
Rien dans les règles ne dit explicitement qu'une arme ne peut pas avoir les deux propriétés, et dans ce cas, les règles ne se contredisent pas.
En pratique, une telle arme vous permettrait de l'utiliser à deux mains pour changer le type de dés de dégâts que vous lancez et vous permettrait également de choisir entre Dextérité ou Force pour vos modificateurs de toucher et de dégâts statiques.
Il y a même un exemple de ce type d'arme dans le SRD 5e : The Sun Blade
Cet objet semble être un pommeau d'épée longue. En tenant le pommeau, vous pouvez utiliser une action bonus pour faire surgir une lame de pure radiance, ou faire disparaître la lame. Lorsque la lame existe, cette épée longue magique a la propriété finesse (soulignement de ma part)
Même si la Sun Blade est un objet magique rare, elle prouve que le concept d'une arme versatile à finesse est à la fois possible et voulu.