(Je ne sais pas si je devrais poster ceci dans math.stackexchange.com, donc j'essaie de le formuler de manière à ce que cela ait du sens pour les non-joueurs de rôle. Au cas où cela soit déplacé)
Dans les deux dernières éditions de Shadowrun, vous lancez plusieurs dés à six faces, et chaque dé montrant un 5 ou un 6 est considéré comme un succès.
Comment calculer la probabilité d'obtenir plus de succès en lançant 3 dés que en lançant 4 dés ?
J'étais curieux de cette question moi-même, alors j'ai réfléchi un peu et j'ai trouvé une équation :
$$ \sum_{i=t}^n \binom{n}{i} \left(\dfrac{1}{3}\right)^i \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-i} $$
Où \$n\$ est le nombre de dés lancés et \$t\$ est le seuil désiré pour le test. Le résultat sera la probabilité d'obtenir au moins \$t\$ réussites avec \$n\$ dés.
Si vous n'êtes pas familier avec la notation, la première partie de la somme (après le sigma et avant les fractions) est le "coefficient binomial". Il est généralement lu "n choisit i" et représente le nombre de fois où vous pouvez choisir \$i\$ éléments parmi un ensemble de \$n\$ éléments.
Étant donné que la question demande spécifiquement comment vous feriez un tel calcul, permettez-moi de vous expliquer un peu la logique derrière cette équation.
La première chose à faire est d'imaginer à quoi ressemblerait une "réussite". Comme une réussite est obtenue en lançant un 5 ou un 6 sur un dé à six faces, il y a donc une chance de 1/3 d'obtenir une réussite sur un seul dé. Cela signifie également qu'il y a une chance de 2/3 d'obtenir un échec sur un dé. C'est d'où proviennent les deux fractions dans l'équation.
Deuxièmement, nous voulons connaître la probabilité d'obtenir un certain nombre de réussites. Les chances d'obtenir \$i\$ réussites sont \$(1/3)^i\$. Ainsi, lancer 2 réussites aurait une probabilité de \$(1/3)^2\$. Lancer 3 réussites serait \$(1/3)^3\$. Cependant... ce n'est pas toute l'histoire. Lorsque vous lancez \$n\$ dés, certains sont des réussites et d'autres des échecs. Donc, si \$i\$ dés sont des réussites sur \$n\$ dés, alors on peut dire qu'il y a \$n-i\$ échecs. Maintenant, obtenir un certain nombre d'échecs est \$(2/3)^{n-1}\$.
Troisièmement, maintenant que nous comprenons les parties fractionnaires de l'équation... Il existe plusieurs façons d'obtenir un ensemble donné de résultats (généralement). Pour illustrer... Imaginons que nous avons 3 dés et que nous voulons obtenir 2 réussites. Si nous nommons les dés dé A, dé B et dé C, alors nous pouvons voir que nous pourrions avoir des réussites sur (A, B) ou (B, C) ou (A, C). Ainsi, dans la situation où nous essayons d'obtenir 2 réussites avec 3 dés, nous devrions multiplier \$(1/3)^i \times (2/3)^{n-i}\$ par les 3 façons différentes dont cela peut se produire. Nous pouvons généraliser cela en disant que la partie binomiale de notre équation de probabilité doit être multipliée par le nombre de façons d'obtenir \$i\$ réussites sur \$n\$ dés. D'où la partie coefficient binomial de l'équation.
Jusqu'à présent, tout ce dont nous avons besoin pour calculer la probabilité d'obtenir exactement \$i\$ succès sur \$n\$ dés... Cependant, si nous voulons calculer la chance d'atteindre un seuil, alors nous devons regarder la probabilité non seulement d'obtenir \$i\$ succès, mais aussi d'obtenir \$i+1\$ succès ou \$i+2\$ succès jusqu'à \$n\$ succès (c'est-à-dire obtenir des succès sur tous les dés). C'est pourquoi nous effectuons la somme de \$t\$ (le nombre minimum de succès nécessaire) à \$n\$ (le nombre maximum, puisque ce sont tous les dés que vous avez lancés).
Vous pouvez voir un tableau ici de toutes les probabilités calculées pour \$n = 1..20\$ et \$t = 1..20\$.
J'inclurai également l'équation que j'ai trouvée pour calculer les mêmes probabilités lorsque l'on utilise la Règle des Six. Cette équation est incluse principalement pour ceux qui sont curieux, et donc je n'inclus pas la longue explication.
$$ P_e(n, t) = \sum_{i=t}^n \binom{n}{i} \left(\dfrac{1}{3}\right)^i \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-i} + \sum_{i=1}^{t-1} \sum_{j=0}^{i-1} \binom{n}{n-i} \left(\dfrac{1}{6}\right)^j \left(\dfrac{1}{6}\right)^{i-j} \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-i} P_e(i-j, t-i) $$
Ici se trouve le même tableau montrant ces probabilites avec la Règle des Six.
Je suis sûr que c'est possible et pas trop difficile de traiter vos lancers de dés comme s'ils étaient 3d3 et 4d3 donnant un succès sur un jet de 3 (pour des maths plus simples), calculer les probabilités d'obtenir 1, 2 ou 3 succès sur le premier ensemble puis la probabilité d'obtenir 1, 2, 3 ou 4 succès sur le deuxième, puis voir quelle combinaison de ceux-ci donne le résultat souhaité.
Je suis assez sûr que quelqu'un peut écrire une formule mathématique pour cela, et je pense que je pourrais le faire si je passais du temps dessus, heureusement il y a Anydice qui peut faire les maths pour nous.
output [count {5, 6} in 3d6] - [count {5, 6} in 4d6]Comme vous pouvez le voir, la probabilité d'obtenir au moins un succès de plus sur 3d6 que sur 4d6 est de 25,24%
Tout comme la réponse de Zachiel, je voudrais indiquer quelques sites Web pour aider avec la réponse : Troll dice roller Dans la partie supérieure droite, vous verrez un menu déroulant, sélectionnez "Shadowrun5 Opposed test with Limit". Ou sélectionnez "Shadowrun 5 with glitches and opt. rule of 6" et développez-le pour inclure un lancer opposé. Étant donné qu'il est possible de stocker vos propres calculs, il y a de nombreux systèmes de jeu/lancer de dés parmi lesquels choisir.
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