Quel est le nombre moyen de tirages nécessaires avant de ne plus pouvoir tirer de cartes du Deck of Many Things?

Question

En pensant à cette question concernant une limite supérieure sur le nombre de pioches, je me suis demandé quel serait le nombre attendu de pioches que vous pourriez réellement réussir à sortir si vous appeliez un grand nombre de pioches.

Les facteurs limitants que je vois sont les cartes Donjon et The Void qui disent:

Vous ne piochez pas plus de cartes

...et Talons qui détruirait le paquet :

Chaque objet magique que vous portez ou transportez se désintègre.

La réponse idéale discuterait de toute différence entre un paquet de 13 cartes et un paquet de 22 cartes.

Note après le commentaire de findsul: Supposons que la carte The Fates ne soit pas utilisée en lien avec vos pioches.

Answer 1

7.166 pour un deck de 22 cartes, 12.5 pour un deck de 13 cartes

Xirema a essentiellement raison, bien que de manière approximative. Mais nous pouvons le faire sans code et obtenir une réponse précise.

Prenons un deck de 20 cartes. Les chances de piocher une carte terminale sont de 3/20, donc le nombre de tirages attendus est de 20/3, ce qui est 6,66...

Prenons maintenant un deck de 21 cartes. Nous avons 4 chances sur 21 de piocher soit la carte auto-supprimante, soit une carte terminale, il y a donc en moyenne 21/4 (5,25) tirages jusqu'à ce que cela arrive. Nous avons ensuite une chance sur 3/4 d'avoir fini et une chance sur 1/4 d'être dans la situation du deck de 20 cartes. Donc le nombre attendu de tirages pour piocher une carte terminale est de 5,25 + 1/4(6,66) = 6,9166...

Enfin, un deck de 22 cartes nous donne 22/5 (4,4) tirages jusqu'à ce que nous tombions sur une carte terminale ou auto-supprimante, donc le nombre attendu de tirages possibles est de 4,4 + 2/5(6,9166) = 7,166.

Nous pouvons faire de même pour l'exemple des 13 cartes - un deck de 12 cartes a une moyenne de 12 tirages, puis le deck de 13 cartes vous donne une espérance de 13/2 + 1/2(12) = 6,5 + 6 = 12,5

Answer 2

Techniquement, vous pouvez tirer l'intégralité du deck si vous le souhaitez.

D'autres personnes ont géré la version mathématique profonde de cette réponse, et je les salue, mais si tout ce que vous voulez faire est de déclencher autant de cartes que possible, la limite supérieure réelle est beaucoup plus simple

• Déclarez que vous avez l'intention de tirer l'intégralité du deck.
• Attendez 1 heure.
• Chaque carte du deck surgit et prend effet simultanément.

C'est probablement une mauvaise idée.

Votre corps sera emprisonné dans un espace extradimensionnel. Votre âme sera emprisonnée dans un objet à l'endroit choisi par le MJ, gardé par un ou plusieurs monstres puissants. Un Avatar de la Mort apparaît et devient immédiatement frustré. Vous recevez de l'argent, des terres et des objets magiques, tous se transformant immédiatement en poussière. Votre alignement change. Vous perdez 1d4+1 en intelligence et gagnez +2 à autre chose. Du bon côté, vous obtenez 1d3 sorts de souhait (qui ne peuvent pas vous sauver) et la capacité de décider que c'était une mauvaise idée et que vous n'auriez pas dû le faire après tout. Peut-être pourriez-vous exploiter le Vizir pour obtenir une réponse à une question de manière plus ou moins sûre? Je ne parierais pas là-dessus.

Answer 3

Pour un deck de 22 cartes, le tirage moyen est d'environ 7,161 cartes

Sachant que les cartes Fou et Jester se retirent du deck si elles sont tirées, nous savons donc que la probabilité de tirer l'une des cartes "stopper" (Talons, Donjon ou The Void) est de 3/22, 3/21 ou 3/20, selon que ces deux cartes ont déjà été tirées ou non.

Ainsi, lors du premier tirage, la probabilité de tirer une carte stopper est de 3/22, soit 13,64%. Il y a 19/22 chances que nous n'ayons pas tiré une carte stopper, mais parmi ces 19 essais, 2 d'entre eux impliquent désormais un deck de 21 cartes.

Ainsi, pour le deuxième tirage, la probabilité de tirer un stopper est (17/19 * 3/22) + (2/19 * 3/21), soit environ 13,705%; la probabilité de tirer ensuite ce stopper après exactement 2 tirages est de 13,705% * 19/22, ce qui correspond à 11,836%.

Nous continuons ce processus indéfiniment, en commençant par le troisième tirage où certains des decks possibles ont 22 cartes, certains en ont 21 et d'autres en ont 20.

À des fins de détermination d'un point d'arrêt fini à mes calculs (car hypothétiquement une personne pourrait simplement continuer à tirer indéfiniment, sans jamais toucher une de ces cartes), je présume que si la probabilité que nous n'ayons pas tiré une des cartes stopper est inférieure à 1/10000, ou 0,01%, alors il est acceptable de supposer que cela ne se produit pas. Par conséquent, la marge d'erreur sur notre moyenne (que nous tronquons à 3 chiffres après la virgule) est d'environ 1 ULP.

En utilisant ce processus, nous pouvons donc voir que la probabilité de tirer une carte stopper après X tirages est la suivante :

1 tirage : 13,636%
2 tirages : 11,836%
3 tirages : 10,262%
4 tirages : 8,889%
5 tirages : 7,692%
6 tirages : 6,650%
7 tirages : 5,744%
8 tirages : 4,958%
9 tirages : 4,276%
10 tirages : 3,685%
11 tirages : 3,173%
12 tirages : 2,731%
13 tirages : 2,349%
14 tirages : 2,019%
15 tirages : 1,734%
16 tirages : 1,489%
17 tirages : 1,278%
18 tirages : 1,096%
19 tirages : 0,940%
20 tirages : 0,806%
21 tirages : 0,690%
22 tirages : 0,591%
23 tirages : 0,506%
24 tirages : 0,433%
25 tirages : 0,370%
26 tirages : 0,317%
27 tirages : 0,271%
28 tirages : 0,231%
29 tirages : 0,198%
30 tirages : 0,169%
31 tirages : 0,144%
32 tirages : 0,123%
33 tirages : 0,105%
34 tirages : 0,090%
35 tirages : 0,077%
36 tirages : 0,065%
37 tirages : 0,056%
38 tirages : 0,048%
39 tirages : 0,041%
40 tirages : 0,035%
41 tirages : 0,029%
42 tirages : 0,025%
43 tirages : 0,021%
44 tirages : 0,018%
45 tirages : 0,016%
46 tirages : 0,013%
47 tirages : 0,011%
48 tirages : 0,010%
49 tirages : 0,008%
50 tirages : 0,007%
51 tirages : 0,006%
52 tirages : 0,005%
53 tirages : 0,004%
54 tirages : 0,004%
55 tirages : 0,003%
56 tirages : 0,003%
57 tirages : 0,002%
58 tirages : 0,002%
59 tirages : 0,002%
>=60 tirages : 0,009%
====
Moyenne : 7,161

Code utilisé pour produire cette sortie trouvé ici : https://godbolt.org/z/t47H5V

Pour un deck de 13 cartes, le tirage moyen est d'environ 12,488 cartes

Les principales différences dans un deck de 13 cartes, outre le fait d'être plus petit, résident dans le fait que certaines des cartes clés pertinentes, comme Talons et Dunjon (qui provoquent l'arrêt du tirage de cartes par l'utilisateur) ou Fool (qui est l'une des cartes qui se retirent d'elles-mêmes) ne sont plus du tout présentes dans le deck. Cela entraîne deux changements mécaniques :

• Tirer une carte spécifique du deck a une chance de 1/13 ou de 1/12, selon que Jester a été pioché ou non.
• La probabilité globale de tirer une carte "Stopper" a diminué à 1/13 ou 1/12, ce qui est bien moins que les chances de 3/22, 3/21 ou 3/20 auxquelles nous étions confrontés précédemment.

En conséquence, ce deck tend vers des tirages beaucoup plus longs par l'utilisateur.

1 tirage : 7,692%
2 tirages : 7,150%
3 tirages : 6,638%
4 tirages : 6,155%
5 tirages : 5,702%
6 tirages : 5,277%
7 tirages : 4,880%
8 tirages : 4,510%
9 tirages : 4,165%
10 tirages : 3,843%
11 tirages : 3,545%
12 tirages : 3,268%
13 tirages : 3,012%
14 tirages : 2,774%
15 tirages : 2,554%
16 tirages : 2,351%
17 tirages : 2,163%
18 tirages : 1,989%
19 tirages : 1,829%
20 tirages : 1,682%
21 tirages : 1,546%
22 tirages : 1,420%
23 tirages : 1,305%
24 tirages : 1,199%
25 tirages : 1,101%
26 tirages : 1,011%
27 tirages : 0,928%
28 tirages : 0,852%
29 tirages : 0,782%
30 tirages : 0,718%
31 tirages : 0,659%
32 tirages : 0,605%
33 tirages : 0,555%
34 tirages : 0,509%
35 tirages : 0,467%
36 tirages : 0,428%
37 tirages : 0,393%
38 tirages : 0,361%
39 tirages : 0,331%
40 tirages : 0,303%
41 tirages : 0,278%
42 tirages : 0,255%
43 tirages : 0,234%
44 tirages : 0,215%
45 tirages : 0,197%
46 tirages : 0,180%
47 tirages : 0,165%
48 tirages : 0,152%
49 tirages : 0,139%
50 tirages : 0,128%
51 tirages : 0,117%
52 tirages : 0,107%
53 tirages : 0,098%
54 tirages : 0,090%
55 tirages : 0,083%
56 tirages : 0,076%
57 tirages : 0,069%
58 tirages : 0,064%
59 tirages : 0,058%
60 tirages : 0,054%
61 tirages : 0,049%
62 tirages : 0,045%
63 tirages : 0,041%
64 tirages : 0,038%
65 tirages : 0,035%
66 tirages : 0,032%
67 tirages : 0,029%
68 tirages : 0,027%
69 tirages : 0,024%
70 tirages : 0,022%
71 tirages : 0,021%
72 tirages : 0,019%
73 tirages : 0,017%
74 tirages : 0,016%
75 tirages : 0,015%
76 tirages : 0,013%
77 tirages : 0,012%
78 tirages : 0,011%
79 tirages : 0,010%
80 tirages : 0,009%
81 tirages : 0,009%
82 tirages : 0,008%
83 tirages : 0,007%
84 tirages : 0,007%
85 tirages : 0,006%
86 tirages : 0,006%
87 tirages : 0,005%
88 tirages : 0,005%
89 tirages : 0,004%
90 tirages : 0,004%
91 tirages : 0,004%
92 tirages : 0,003%
93 tirages : 0,003%
94 tirages : 0,003%
95 tirages : 0,003%
96 tirages : 0,002%
97 tirages : 0,002%
98 tirages : 0,002%
99 tirages : 0,002%
100 tirages : 0,002%
101 tirages : 0,002%
102 tirages : 0,001%
103 tirages : 0,001%
104 tirages : 0,001%
105 tirages : 0,001%
106 tirages : 0,001%
107 tirages : 0,001%
>=108 tirages : 0,010%
====
Moyenne : 12,488

Code utilisé pour produire cette sortie trouvé ici : https://godbolt.org/z/npw9w-