RAW, le chat ne peut pas terminer son tour dans le même espace que vous
Dans le PHB (p. 191), les règles pour Se déplacer autour d'autres créatures indiquent :
Que la créature soit une amie ou une ennemie, vous ne pouvez pas volontairement terminer votre déplacement dans son espace.
Puisque le chat ne peut pas terminer son déplacement — et donc son tour — dans votre espace, il ne peut pas non plus se cacher dans votre espace par rapport à l'ennemi. S'il pouvait le faire, il ne déclencherait pas d'attaques d'opportunité, puisqu'elles sont déclenchées en quittant la portée de l'ennemi (en supposant que vous vous trouviez dans la portée de l'ennemi).
Tel que c'est, il devrait quitter votre espace pour se cacher, et si cela signifie quitter la portée de l'ennemi, il subirait alors une attaque d'opportunité à moins de se désengager d'abord (mais alors il aurait utilisé son action, donc ne pourrait pas se cacher avant son prochain tour).
Cependant, étant donné que le familier chat est une créature Minuscule, non combattante (je suppose ? Les familiers, du moins ceux obtenus via le sort trouver familier, sont généralement non combattants, à moins que vous ne soyez un sorcier de pacte de la chaîne), un MJ pourrait passer outre à cette règle et permettre au chat de se cacher dans votre espace, mais cela dépend du MJ.
Par contre, le chat peut vous monter
L'exception à cela est (merci à @Darth Pseudonym d'avoir souligné ceci) que, puisque le chat est Minuscule et vous êtes Petit, si le chat utilisait la moitié de son mouvement pour vous monter, il pourrait ensuite partager votre espace. Étant donné qu'un humanoïde peut être une monture pour un autre humanoïde, je ne vois pas pourquoi cela ne fonctionnerait pas.
D'après les règles du Combat monté :
Une créature consentante qui est au moins d'une taille plus grande que vous et qui a une anatomie appropriée peut servir de monture, en utilisant les règles suivantes.
...
Une fois pendant votre déplacement, vous pouvez monter une créature se trouvant à moins de 5 pieds de vous ou descendre de votre monture. Cela vous coûte un mouvement équivalant à la moitié de votre vitesse.
Être monté par votre chat ne devrait pas vous imposer de restrictions quelconques, puisque vous seriez considéré comme une monture indépendante :
Une monture indépendante conserve sa place dans l'ordre d'initiative. Le fait d’avoir un cavalier ne impose aucune restriction aux actions que peut entreprendre la monture, et elle se déplace et agit comme elle le souhaite.
Je ne pense pas que le chat puisse se cacher tout en étant monté, mais en même temps, je ne sais pas s'il existe quelque chose qui dit qu'une personne montée ne peut pas se cacher non plus. La chose la plus proche que je trouve est la barre latérale de Dissimulation, qui dit :
Vous ne pouvez pas vous cacher d'une créature qui peut vous voir clairement...
Si le chat ne peut pas se cacher, il serait toujours possible de l'attaquer, puisque :
... si la monture provoque une attaque d'opportunité pendant que vous êtes dessus, l'attaquant peut cibler vous ou la monture.