Quand vous récupérez votre gamertag, ce que vous faites est de copier l'état actuel de votre gamertag à partir des serveurs de Microsoft vers la console où vous le récupérez (votre gamerscore et vos succès).
Souvent, cela vous donnera les informations que vous vouliez restaurer, mais gardez à l'esprit que ce que vous récupérez est votre gamerscore et vos succès depuis la dernière fois où vous étiez en ligne. Vous ne obtiendrez pas de crédit pour tout succès que vous avez obtenu hors ligne si vous ne les avez pas synchronisés en retournant en ligne sur cette console avant de récupérer votre gamertag sur votre console. (Il en va de même pour les sauvegardes sur le cloud : vous devez sauvegarder votre jeu sur le cloud pour y accéder depuis une autre console.)
Comme James le mentionne, et comme cette question le souligne, vous pouvez facilement déplacer votre profil d'une console à l'autre en l'enregistrant sur une clé USB (ou sur une carte mémoire, si vous avez des anciennes 360 qui les acceptent). Vous n'auriez pas besoin de récupérer votre profil à chaque fois, et si les ports USB posent problème (si vous jouez à un jeu qui en utilise plusieurs), vous pouvez déplacer votre profil vers le disque dur de la console sur laquelle vous jouez, et avant de partir, vous pouvez le déplacer à nouveau sur votre clé USB.
Si vous faites cela, gardez à l'esprit que le profil et les sauvegardes locales ne sont pas nécessairement enregistrés au même endroit. Si vous voulez emporter vos sauvegardes avec vous, vous devez les sauvegarder sur le cloud ou sur la clé USB.