Aide sur la probabilité de rouler deux D4 avec tous les doubles comptant comme zéro, sauf les doubles 4, qui comptent comme 4

Question

Alors j'ai élaboré un système de jeu impliquant le lancement de deux D4 pour déterminer le déplacement sur un tableau. Cela fonctionne en tabulant la différence entre les points de chaque dé, par exemple, Dé 1=lance '1' vs Dé 2=lance '4' ce qui donne un déplacement de 4-1=3. Le but est de permettre un déplacement de '0' lorsque des doublets sont lancés. Mais je voulais aussi permettre un lancer de '4' donc j'ai décidé qu'un lancer de double 4s égalerait un déplacement de 4, tandis que tous les autres doublets annuleraient, ou donneraient un déplacement de zéro. J'ai essayé de calculer cela moi-même mais j'apprécierais de l'aide pour vérifier mon travail et offrir toutes corrections ou suggestions. Donc....

1. Cinq résultats possibles sur deux D4 : 0,1,2,3,4
2. Les probabilités pour chaque option ne sont pas égales: 4 a la moins de chances avec 1/16 (0.0625)
3. 0 nécessite (1|1), (2|2) ou (3|3), donc c'est 3 fois plus probable que 1/16 donc 1/16 + 1/16 + 1/16 = 3/16 (0.1875) c'est correct ? Le reste je vais le faire en fonction des "différences" entre les dés
4. Différence de 1 : (1|2), (2|1), (2|3), (3|2), (3|4) et (4|3). Donc ma probabilité pour un "1" serait 6/16 (0.375) ?
5. Différence de 2 : (3|1), (4|2), (2|4) et (1|3). Donc 2 est 4/16 (0.25) ?
6. Différence de 3 : (4|1), (1|4). Donc 3 est 2/16 (0.125) ?
7. Résumé de la probabilité la plus élevée à la plus basse : 1 (38%), 2 (25%), 0 (19%), 3 (13%), 4 (6%)

Est-ce que j'ai bien compris ?

Si c'est le cas, alors ma dernière question concerne la valeur moyenne pour tout cela ? J'ai vraiment besoin d'aide ici. Les zéros perturbent mon esprit. Je présume que la valeur moyenne devrait être supérieure à 1 mais inférieure à 2.

Answer 1

Les probabilités sont correctes, mais méfiez-vous des approximations.

Vous avez les bonnes probabilités en termes de fractions, mais lorsque vous les avez approximées avec des pourcentages, vous obtenez une somme de 101%. Vous ajoutez 0,5% aux articles 4 et 6.

Une confirmation supplémentaire peut être obtenue en simulant les lancers et en calculant les distances selon vos règles. L'histogramme ci-dessous représente la simulation de 1 million de lancers (barres bleues) et compare la distribution empirique avec la distribution théorique (points orange).

Pour le mouvement moyen, vous pouvez utiliser la formule de la valeur attendue.

La formule de la valeur attendue \${\rm E}[X]\$ d'une variable aléatoire discrète \$X\$ qui peut prendre les valeurs \$x_1, x_2,\dots,x_n\$ est donnée par $$ {\rm E}[X] = \sum_{i=1}^n x_i P(x_i) $$

où \$P(x_i)\$ est la probabilité de chaque valeur. Cette formule prend en compte le fait que les valeurs ont des probabilités différentes : il s'agit d'une sorte de moyenne pondérée, où les poids sont donnés par les probabilités. Plus la probabilité d'une valeur est élevée, plus sa contribution à la moyenne est grande.

Dans ce cas, vous avez $$ {\rm E}[X] = 0 \frac{3}{16} + 1\frac{6}{16} + 2\frac{4}{16} +3\frac{2}{16} +4\frac{1}{16} = \frac{24}{16} = 1.5 $$

Votre intuition selon laquelle le mouvement moyen devrait être entre 1 et 2 est correcte.

Answer 2

La réponse d'Eddymage est correcte, mais j'ai pensé que je pourrais fournir une réponse supplémentaire pour introduire un des outils préférés de RPG.SE: AnyDice. (Nous avons même une balise pour cela : anydice.)

Après avoir lutté contre quelques messages d'erreur pendant un certain temps, j'ai réussi à mettre en œuvre votre stratégie de lancer en utilisant deux fonctions :

• movehelper : prend deux nombres (c'est-à-dire les résultats de vos lancers) et renvoie la différence entre le plus élevé et le plus bas, à moins que les deux nombres soient 4, auquel cas il renvoie 4.
• move : envoie deux 1d4 dans movehelper et renvoie le résultat. (Cela est techniquement inutile, vous pourriez appeler output [movehelper 1d4 1d4] directement, mais j'ai aimé l'idée d'avoir un bel enrobage.)

Le programme est ici: https://anydice.com/program/3162d

Comme vous pouvez le voir, AnyDice vous montre les probabilités de chaque résultat.

• 0 : 18,75% de chance
• 1 : 37,5% de chance
• 2 : 25% de chance
• 3 : 12,5% de chance
• 4 : 6,25% de chance

Les deux nombres entre parenthèses après "output 1" sont la moyenne/résultat moyen (1,5) et l'écart type (1,12).

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Vous avez mentionné dans un commentaire que vous pourriez vouloir que 0 et 3 soient également probables. Selon votre schéma actuel, 0 a une probabilité de 3/16, tandis que 3 a une probabilité de 2/16.

La manière la plus simple de mettre cela en œuvre serait de dire qu'un lancer double-1 n'est pas un résultat valide, c'est-à-dire de relancer. Cela changerait les chances pour les deux 0 et 3 à 2/15.

Programme AnyDice pour cette stratégie : https://anydice.com/program/31632

Cela augmente votre résultat moyen à 1,6.