Tirage de jeton [Tous en une seule fois (par joueur) vs Round Robin] -- Mathématicien / Statisticien nécessaire pour une question

Question

Dans Paris Connection (PC), vous allez joueur par joueur en dessinant un nombre initial de trains, chaque joueur dessinant son complément entier en une seule fois.

Un de nos joueurs a avancé l'hypothèse que cette méthode de tirage est "injuste/biaisée" car le premier joueur à tirer a une plus grande probabilité d'obtenir la majorité d'une seule couleur. [Mettons de côté si le fait d'avoir la majorité d'une seule couleur donne effectivement un avantage au joueur dans PC.] Alors que c'était mon hypothèse que même s'il y a de la variance dans la distribution tirée, à long terme, cela se compenserait parmi tous les joueurs... et en écrivant ceci et formulant mes pensées sur le sujet plus en détail, il m'est apparu que c'est en réalité le dernier joueur qui a la plus grande probabilité d'un tirage déséquilibré.

Si des mathématiciens / statisticiens peuvent donner leur avis (et non pas seulement spéculer), j'aimerais entendre une raison scientifique pour savoir qui a raison.

Exemple simplifié :
1 Sac Contenant :
10 jetons de six (6) couleurs différentes (ROYGBV), pour un total de 60 jetons
6 Joueurs tirant six (6) jetons chacun, chaque joueur tirant tous les six (6) jetons à la fois avant de passer le sac au joueur suivant

Mon analyse simplifiée (lisez : hypothèse) :

"En général", un joueur serait enclin à tirer un de chaque couleur, laissant tous les autres joueurs enclins à tirer un de chaque couleur. Donc "en général", tous les joueurs auraient une distribution équitable.

Cependant, si un joueur tire aléatoirement plus d'une seule couleur (ce qui est susceptible de se produire), alors cela prédisposerait le joueur suivant à tirer aussi plus d'une seule couleur, ce qui se répercuterait dans les tirages de chaque joueur avec chaque joueur ayant "plus" d'une couleur; annulant ainsi le fait qu'un seul joueur ait "plus" d'une couleur alors que les autres non.

Note #1 : Je ne dis certainement pas qu'un joueur ne peut pas tirer les six jetons rouges, tandis que tous les autres joueurs ont une distribution plus équilibrée d'un de chaque couleur ; après tout en probabilité presque n'importe quoi 'peut' arriver... mais cela ne le rend pas probable. Ce que je dis, c'est que tirer en premier ne vous donne pas intrinsèquement une chance accrue d'avoir la majorité d'une seule couleur.

En fait, je soutiendrais presque le contraire, que le dernier joueur a la probabilité la plus élevée d'avoir la majorité d'une seule couleur. Voici mes pensées... Le joueur #1 a une chance égale de tirer toutes les couleurs, disons qu'elle tire R. Maintenant, lors de son deuxième tirage, elle a légèrement plus de chances de tirer n'importe quelle couleur sauf R ; donc elle tire un O, etc. Donc disons pour l'exemple, elle tire une distribution équilibrée (ROYGBV). Maintenant sa sœur jumelle, Joueur #2, au début, a une distribution équitable, et parvient également à tirer une distribution équitable (VBGYOR). Mais disons que leur cousine, Joueur #3 - Mademoiselle Entropie, tire une distribution déséquilibrée (RRRRVV)... à partir de ce moment, les joueurs restants à tirer sont de plus en plus prédisposés à tirer une distribution non-équilibrée. Il semble donc, et je ne suis pas un mathématicien / statisticien, que le premier joueur a la meilleure chance d'avoir une distribution équitable ; et à chaque joueur, les chances s'améliorent pour une distribution équitable.

Note #2 : Comme vous le verrez ci-dessous, dans PC, le nombre de jetons tirés est seulement un multiple pair du nombre de couleurs dans le jeu à 5 joueurs... ce qui, selon moi, renforcerait encore les effets de 'l'augmentation de l'entropie' à chaque joueur qui tire, car seul le premier joueur aurait une distribution véritablement équitable à tirer.

Enfin, cela étant dit... disons que nous utilisons l'autre méthode du tournoiement, où chaque joueur tire un seul jeton, et passe le sac à chaque fois. Est-ce que cela augmente nécessairement la 'platitude' de la distribution de chaque joueur ? "Idéalement" (ROYGBV). Ou met-il "vraiment" les joueurs de début au même niveau que le dernier joueur ? Ou est-ce que cela n'a aucune importance ? Par exemple, dans le seul cours de statistiques que j'ai suivi, je me souviens de quelque chose sur les "événements dépendants"... mais je ne suis pas sûr si cela s'applique?.?. et que ce soit des jetons, des trains, ou des cartes ; la méthode de tirage/distribution a-t-elle de l'importance ?

Tout cela étant dit, je n'ai malheureusement pas la rigueur mathématique / statistique pour "prouver" d'une manière ou d'une autre, ou quelque chose d'autre que je n'ai pas pris en compte.

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Détails réels de l'exemple de Paris Connection (PC) :**
1 Sac Contenant :
31 jetons de six (6) couleurs différentes (ROYGBV), pour un total de 186 jetons
X Joueurs tirant y (Y) jetons chacun, chaque joueur tirant tous les y (Y) jetons à la fois avant de passer le sac au joueur suivant

X == Num Joueurs
Y == Num Jetons Tirés

X     Y
3    10
4     8
5     6
6     5

Answer 1

Aucun joueur n'a plus de chances de tirer une distribution paire ou impaire qu'un autre.

Une façon de voir les choses est de considérer les permutations des jetons, où ils sont disposés dans une séquence plutôt que mélangés dans un sac ou quelque chose. Ensuite, si nous mélangeons les jetons, de sorte qu'ils peuvent être dans n'importe quel ordre, nous pouvons distribuer les jetons, de sorte que le premier joueur reçoit les premiers Y jetons dans la séquence, et le joueur suivant reçoit les suivants Y, et ainsi de suite.

Si vous supposez que chaque permutation a la même probabilité que toutes les autres (ce qui est aussi valable que de supposer que le sac est uniformément mélangé), alors vous pouvez voir que la position du joueur n'affecte pas les jetons qu'ils sont plus ou moins susceptibles de recevoir.

Answer 2

Votre séquence d'échantillonnage est un exemple d'une séquence d'échantillonnage échangeable. Les séquences échangeables ne sont pas indépendantes. Le résultat des échantillons antérieurs affecte le résultat des échantillons ultérieurs.

Cependant, les distributions marginales sont identiques. c'est-à-dire que la probabilité que le premier joueur obtienne une seule couleur est identique à la probabilité que le dernier joueur obtienne une seule couleur.

Les mathématiciens/probabilistes appellent cela un problème d'urne. Cela devrait être suffisant pour vous aider à trouver une solution plus détaillée si celle-ci est trop complexe pour vous.

Answer 3

Imaginez que nous avons tiré les jetons face cachée. Le premier joueur tire ses six jetons, mais ne les regarde pas et ne les montre pas aux autres joueurs. Ensuite, le deuxième joueur tire également ses six jetons sans regarder, etc, jusqu'à ce que tous les joueurs aient tiré leurs jetons, mais personne n'a regardé aucun jeton.

Alors l'un de vos amis, appelons-le Terry, se plaint que avec cette méthode de tirage, le premier joueur a un avantage.

Donc, le premier joueur, Fred, propose à Terry un choix : tu peux garder tes jetons, ou nous pouvons les échanger. En cas d'échange, Terry prend les six jetons qui étaient dans la main de Fred, et Fred prend les six jetons qui étaient dans la main de Terry. Notez qu'à ce stade, ni Fred ni Terry n'ont encore regardé les jetons.

Croyez-vous que Terry devrait faire l'échange ? Eh bien, il le peut, mais cela n'aura aucun impact sur les probabilités. La main de Fred et celle de Terry suivent la même distribution de probabilité.

Maintenant, vous pouvez regarder les jetons, mais cela n'affecte pas les probabilités antérieures. Ainsi, le premier joueur n'a pas d'avantage, non plus que le dernier joueur.

Cependant, le premier joueur reçoit l'information sur sa propre main plus rapidement. C'est peut-être ce qui donne à vos amis l'impression que le jeu n'est pas juste. En effet, il y aura un état intermédiaire où le premier joueur a déjà tiré sa main, et sait déjà s'il a une bonne ou une mauvaise main ; tandis que les autres joueurs n'ont pas encore tiré leur main, donc ils ne savent pas s'ils vont obtenir une bonne ou une mauvaise main. Les autres joueurs ont cependant une information résiduelle ; par exemple, si la main du premier joueur contenait beaucoup de jetons rouges, alors les autres joueurs ont maintenant une probabilité réduite d'obtenir des jetons rouges.

Comparez cela avec un jeu de roulette russe pour six joueurs. Il y a six chambres dans un revolver, et l'une de ces chambres contient une balle. Il y a six joueurs. Les chambres ont été tournées de manière uniforme au hasard ; donc chaque joueur a exactement une chance sur six d'obtenir la balle (environ 17%). Cependant, après que le premier joueur ait joué, s'il n'a pas été touché, alors il y a un état intermédiaire où le premier joueur a une probabilité de 0% de toucher la balle, tandis que les autres joueurs ont chacun une chance sur 5 d'obtenir la balle (20%). Pendant cette phase intermédiaire du jeu, les choses peuvent sembler très injustes.