Comment le fait de lancer deux d20 et de prendre le plus élevé affecte-t-il le résultat moyen ?

Question

D&D 5E a un concept d'"avantage" où au lieu de lancer 1d20, vous lancez 2d20 et prenez le plus élevé. De même, le désavantage consiste à lancer 2d20 et à prendre le plus faible.

Comment cela affecte-t-il le résultat moyen attendu du rouleau ?

Answer 1

Tout ce que cela fait, c'est d'ajuster linéairement la probabilité de 5%, normalement plate, que chaque nombre se produise. Il en résulte une augmentation ou une diminution de la probabilité qu'un nombre supérieur ou inférieur à la moyenne se produise, positivement pour l'avantage et négativement pour le désavantage. Voir cet ensemble de fonctions AnyDice ce qui donne le résultat suivant :

Le noir est un d20, l'orange est le plus haut de 2d20, le bleu est le plus bas de 2d20.

Comme la probabilité d'obtenir un nombre donné est une fonction linéaire, nous pouvons utiliser la régression linéaire ( via Wolfram Alpha et notre échantillon de données provenant de AnyDice. pour finalement résoudre probability of x = 0.5x - 0.25 - Multipliez par 100, et vous obtenez le pourcentage de chance que vous obteniez un nombre particulier.

De plus, ce que vous cherchez probablement, c'est la probabilité que au moins un nombre particulier sera lancé, en utilisant l'avantage ou le désavantage. AnyDice, encore une fois, est le roi :

Le noir est un d20, l'orange est le plus haut de 2d20, le bleu est le plus bas de 2d20.

Données :

Advantage
#     %
1     100
2     99.75
3     99
4     97.75
5     96
6     93.75
7     91
8     87.75
9     84
10    79.75
11    75
12    69.75
13    64
14    57.75
15    51
16    43.75
17    36
18    27.75
19    19
20    9.75

Disadvantage
#     %
1     100
2     90.25
3     81
4     72.25
5     64
6     56.25
7     49
8     42.25
9     36
10    30.25
11    25
12    20.25
13    16
14    12.25
15    9
16    6.25
17    4
18    2.25
19    1
20    0.25

Answer 2

Le calcul est simple.

Avec un avantage, vous recherchez le meilleur des deux résultats. Pour calculer vos chances, vous devez multiplier les chances d'ÉCHEC pour trouver la nouvelle chance d'échec. Par exemple, si vous avez besoin de 11+ pour réussir, lancer deux dés et prendre le meilleur signifie qu'au lieu d'avoir 50% de chances d'échouer, vous n'avez que 25% de chances d'échouer (.5 fois .5), et 75% de chances de réussir (.5 fois 1.5).

Pour un désavantage où l'on prend le plus mauvais de deux lancers de dés, il faut multiplier les chances de SUCCÈS pour connaître les nouvelles chances. Par exemple, si vous avez besoin d'un 11+ pour toucher, vos chances de réussite passent de 50% à 25% (.5 fois .5).

Avantage 16+ pour toucher, passe de 25% de chances de réussite à environ 44% de chances de réussite. (.25 fois 1.75)

Désavantage 16+ pour toucher, passe de 25% de chances de succès à environ 6% de chances de succès (.25 fois .25)

La règle générale veut qu'au milieu de la fourchette du d20 (de la réussite sur un 9+ à un 12+), l'avantage équivaut à un bonus de +5 et le désavantage à une pénalité de -5. L'augmentation et la diminution des chances s'atténuent lorsque vos chances de réussite approchent de 1 ou 20. Par exemple, si vous obtenez un avantage sur un 19+, vos chances d'échec passent de 90% à 81%, ce qui équivaut à un bonus de +2 sur un d20.

Une propriété intéressante du système est qu'il y a toujours une chance de succès et toujours une chance d'échec. Contrairement à un système de modificateurs où un nombre suffisant de modificateurs peut signifier un succès ou un échec automatique. (Sauf si vous avez un 20 qui est un succès automatique et 1 un échec automatique).

Une application utile de la connaissance des chances de lancer deux dés est que vous pouvez simplement la convertir en un bonus direct lorsque vous lancez des dés pour un grand nombre de PNJ. Une bande de gobelins avec un avantage de surprise qui ont besoin de 13+ pour toucher les joueurs, vous pouvez simplement appliquer un bonus de +4 (ou +5 si vous arrondissez) au lieu de lancer le deuxième dé. En effet, ils ont 60% de chances d'échouer sur 13+. En prenant 0,6 fois 0,6, on obtient 0,36, soit une baisse de 24%. Pas tout à fait un bonus de +5 sur un dé d20.

Pour calculer la valeur exacte, si vous lancez n+ (de 2 à 20) :

• Si vous effectuez un jet normal, vous avez une chance de (21-n)*5% de réussite. Appelons cette probabilité p.
• Si vous obtenez l'avantage, vous avez 1-(1-p)(1-p) = p(2-p) chances de succès.
• Si vous lancez un dé avec un désavantage, vous avez p^2 chances de succès.

Une chose intéressante est que l'avantage augmente toujours d'un même montant de probabilité avec le désavantage diminue pour le même n, qui est p(1-p), ou (n-1)(21-n)*5%*5%. Comme le modificateur +m ou -m augmente ou diminue m*5% de chance, l'avantage et le désavantage accordent à peu près l'équivalent d'un modificateur (n-1)(21-n)/20, arrondi à l'entier supérieur, soit un bonus ou une pénalité, et il a une valeur maximale de 5 quand n est 11, puisque (n-1)(21-n) est égal à 100-(11-n)^2.

Ainsi, si vous voulez convertir un avantage ou un désavantage en un modificateur direct, vous pouvez soit arrondir vers le haut, soit arrondir vers le bas les données suivantes :

1

2

modificateur

2

20

0.95

3

19

1.8

4

18

2.55

5

17

3.2

6

16

3.75

7

15

4.2

8

14

4.55

9

13

4.8

10

12

4.95

11

11

5

Answer 3

Le résultat moyen passe de 10,5 à 7,175 pour le désavantage et à 13,825 pour l'avantage. Les chances passent d'un taux fixe de 5% pour chacune des valeurs de 1 à 20 à (les résultats en désavantage sont indiqués ; inversez la première colonne pour les résultats en avantage) :

 1 39 9.75% 
 2 37 9.25% 
 3 35 8.75% 
 4 33 8.25% 
 5 31 7.75% 
 6 29 7.25% 
 7 27 6.75% 
 8 25 6.25% 
 9 23 5.75% 
10 21 5.25% 
11 19 4.75% 
12 17 4.25% 
13 15 3.75% 
14 13 3.25% 
15 11 2.75% 
16 9  2.25% 
17 7  1.75% 
18 5  1.25% 
19 3  0.75% 
20 1  0.25% 

(La colonne du milieu indique combien des 400 combinaisons de deux nombres de 1 à 20 donnent le résultat donné dans la première colonne).

Answer 4

Je voulais juste ajouter une réponse plus généralisée à cette question qui vous donnera une formule pour calculer votre probabilité de succès avec les avantages et les inconvénients plutôt que de chercher la valeur dans un tableau. Je vais faire de mon mieux pour que cette formule soit claire pour toute personne ayant des connaissances en mathématiques, alors faites-moi savoir dans les commentaires si l'une des étapes n'a pas de sens.

Avantage

Avec l'avantage, lorsque vous devez obtenir au moins \$n\$ pour réussir votre test (c'est-à-dire test - mod = \$n\$), vous réussissez si l'un de vos deux dés obtient une valeur de \$n\$ ou plus. Inversement, tu échoues si l'un de tes deux dés obtient une valeur égale ou inférieure à \$n-1\$. Puisque ce sont les deux seules possibilités, tu réussis ou tu échoues, la probabilité que l'une de ces deux choses se produise est de \$1\$, nous pouvons donc dire :

$$ P(réussite) + P(échec) = 1 $$

Où \$P(x)\$ indique la probabilité que l'événement \$x\$ se produise. Nous pouvons réorganiser ceci pour obtenir :

$$ P(réussite) = 1 - P(échec) $$

Nous savons donc maintenant que nous pouvons trouver la valeur que nous voulons en utilisant la probabilité d'échec, que nous avons précédemment définie comme :

$$ P(échec) = P( \text {les deux dés} \leq n-1) $$ la probabilité que les deux dés obtiennent une valeur égale ou inférieure à \$n-1\$. Pour un dé, on sait qu'il existe \$n-1\$ façons d'obtenir \$n-1\$ ou moins (par exemple, si \$n-1 = 5\$, on peut obtenir \$1, 2, 3, 4, \text {ou }5\$ donc il y a \N{5\$} plusieurs façons possibles de le faire). Il y a au total \$20\$ façons possibles de lancer le dé. Donc la probabilité qu'un dé lance \$n-1\$ ou moins est le nombre de façons de lancer \$n-1\$ divisé par le nombre total de façons de lancer le dé ou :

$$ P( \text {une mort} \leq n-1) = \frac {n-1}{20} $$

Comme les deux dés sont identiques, leur probabilité de lancer \$n-1\$ est la même, nous connaissons donc les probabilités des deux dés. Les deux lancers de dés sont indépendants l'un de l'autre, ce qui signifie que le nombre obtenu sur un dé n'a aucune incidence sur le nombre obtenu sur l'autre. En d'autres termes, si vous obtenez un 5 sur le premier dé, les probabilités d'obtenir un 7 sur l'autre dé ne changent pas. Lorsque deux événements sont indépendants, nous pouvons trouver la probabilité de les deux des événements qui se produisent en multipliant leurs probabilités. En d'autres termes :

$$ P( \text {les deux dés} \leq n-1) = P( \text {une mort} \leq n-1) \times P( \text {une mort} \leq n-1) \\ P( \text {les deux dés} \leq n-1) = \frac {n-1}{20} \times \frac {n-1}{20} \\ P( \text {les deux dés} \leq n-1) = \Big ( \frac {n-1}{20} \Big )^2 $$

En substituant ceci dans notre équation originale, nous obtenons :

$$ P(succès) = 1 - \Big ( \frac {n-1}{20} \Big )^2 $$

Désavantage

Définissons maintenant ce que signifie réussir avec un désavantage de la même manière que nous avons défini ce que signifie réussir avec un avantage. Pour un désavantage où vous devez obtenir au moins \$n\$ pour réussir, les deux dés doivent obtenir une valeur de \$n\$ ou plus. En d'autres termes, si l'on doit obtenir au moins un \$18$$ pour réussir, les deux dés doivent obtenir soit \$18, soit 19, \text {ou } 20\$. Le nombre total de façons d'obtenir au moins \$n\$ sur un dé à 20 faces est de :

$$ \{ \text {nombre de façons de rouler} \geq n\} = \{ \text {total # of ways to roll}} - \{\i0} \text {nombre de façons de rouler} \leq n-1\} \\ \{ \text {nombre de façons de rouler} \geq n\} = 20 - (n-1) = 21 - n $$

Nous pouvons créer une probabilité à partir de cela en divisant par le nombre total de façons de lancer le dé, ce qui nous donne :

$$ P( \text {une mort} \geq n) = \frac {21 - n}{20} $$

Comme précédemment, les lancers de dés sont indépendants, nous pouvons donc obtenir les probabilités que les deux dés soient supérieurs ou égaux à \$n\$ est :

$$ P(réussite) = \Big ( \frac {21-n}{20} \Big )^2 $$

Généralisations

Puisque nous avons travaillé sur les mathématiques, nous pouvons également voir comment nous pouvons facilement modifier cette formule pour obtenir de nouvelles probabilités. Par exemple, si nous établissons une règle maison de " super avantage " où vous lancez 3 dés au lieu de 2, nous multiplions simplement notre \$P(échec)\$ par un dé supplémentaire \$$. \frac {n-1}{20}\$ changeant le \$^2\$ en \$^3\$. Nous pouvons donc généraliser la formule pour qu'elle soit :

$$ P(succès) = 1 - \Big ( \frac {n-1}{20} \Big )^m $$

Où \$m\$ est le nombre de dés. De même, les probabilités pour le "super désavantage" seraient :

$$ P(réussite) = \Big ( \frac {21-n}{20} \Big )^m $$

En allant plus loin, si nous le voulons, nous pouvons également remplacer le \$20\$ du dénominateur par un autre nombre si vous voulez regarder les chances pour d'autres dés. Par exemple, vous êtes un MJ et après la création d'un personnage, un joueur vient vous voir et veut relancer ses statistiques. Il dit qu'il n'a obtenu que des 1 et des 2 sur ses 4d6 pour une statistique et il pense que c'était tellement improbable que cela rendra le jeu déséquilibré pour son personnage. Aidons le MJ à déterminer si le joueur a raison ou non. En d'autres termes, nous voulons savoir \$P( \text {tous les dés} \leq 2)\$. C'est la même chose que notre condition d'"échec" pour l'avantage, mais avec 4 dés à 6 faces au lieu de 2 dés à 20 faces. On peut donc remplacer le 2 par le 4 et le 20 par le 6 et obtenir :

$$ P( \text {tous les dés} \leq \text {max roll}) = \Big ( \frac { \text {max roll}}{ \text {# de côtés}} \Big )^ \text {# de dés} \\ P( \text {tous les dés} \leq 2) = \Big ( \frac {2}{6} \Big )^4 = 0.01234 $$

Il y a donc 1,234% de chances que cela se produise (c'est-à-dire qu'une statistique sur 81 sera aussi basse). Comme les personnages doivent lancer 6 statistiques par partie, le DM décide que ce n'est pas aussi improbable que le joueur le pense et lui dit de garder le bloc de statistiques.

Answer 5

Probabilité

Les réponses fournies couvrent effectivement la probabilité pour chaque résultat, de 1 à 20, pour l'avantage/désavantage avec 2d20. Par souci d'exhaustivité, les probabilités suivent :

Valeur attendue

En lançant 2d20, et en conservant la valeur maximale de chacune des 400 permutations, la valeur attendue est de 13,825. En revanche, la valeur attendue lorsque l'on conserve la valeur minimale est de 7,175. L'écart par rapport à la moyenne d'un seul d20 est de 3.325
Oui, la somme des deux valeurs moyennes est de 21.

Prestations

L'avantage inhérent, ou le désavantage, sur le résultat attendu en lançant 2d20 n'est pas abordé. Pour minimiser la duplication des efforts, l'analyse suivante suppose que le jet est effectué avec avantage.

Par définition, lancer avec avantage est le fait de lancer 2d20, et de prendre la valeur la plus élevée ; le dé inférieur, ou un dé s'ils ont la même valeur, est défavorisé par rapport à l'autre. L'ordre dans lequel les dés sont lancés est sans importance. Il faut plutôt se concentrer sur les valeurs qu'ils sont capables de produire, par exemple, sur les 400 permutations, il y a 39 possibilités de recevoir un 20 comme résultat favori. En lançant deux dés, l'avantage d'obtenir un 1 et un 20, ou un 20 et un 1, est toujours de 19. Le 1 est la valeur défavorisée et est déduit par la procédure de lancement avec avantage.

Cependant, ce serait une erreur statistique de supposer qu'un dé sera toujours défavorisé et de se concentrer sur les cas où la valeur de l'autre dé est supérieure ou égale à la valeur du dé défavorisé. En agissant ainsi, on annule 190 cas où un avantage serait toujours obtenu en lançant 2d20 au lieu d'un seul dé. En effet, pour chaque résultat où les valeurs des dés ne sont pas égales, il y a 2 cas où cela peut se produire. Au total, il y a 20 cas où les valeurs sont égales, 190 où A < B, et 190 où A > B.

Pour analyser correctement l'avantage de lancer 2d20, chacun des 400 cas doit être examiné. Pour chaque PAIR résultant, l'avantage démontré par le jet est la différence absolue entre les dés, c'est-à-dire que si les valeurs des deux dés sont égales, l'avantage est de zéro. Par conséquent, la valeur défavorisée est présumée être le résultat que nous aurions obtenu en lançant 1 dé, tandis que la différence entre celle-ci et le dé favorisé est le bénéfice obtenu. La moyenne de chaque avantage est 6.650.

Pourquoi +5 Modificateur

Le PHB fournit un raccourci pour appliquer l'avantage via un modificateur de +5 pour supplanter le jet. Par coïncidence,

6.650 - (6.650-3.325)/2 = 4.9875 ~ 5