Est-ce que 3d6 est la même chose que 1d18 ?

Question

Ce sujet serait peut-être mieux adapté aux SE mathématiques, mais puisque les RPG sont l'application prévue de ces informations, j'ai décidé de le mettre ici (cela n'a rien à voir avec le fait que je sois paresseux et que je ne veuille pas m'embêter avec les 15 secondes d'enregistrement pour un nouveau SE, honnêtement).

J'ai entendu dire qu'apparemment, le fait de lancer trois dés à six faces produisait une distribution en forme de cloche, les résultats étant pondérés vers le milieu (ce qui correspondrait à 10,5). Mais je ne vois pas comment cela fonctionne ; si vous avez une probabilité égale de chaque résultat de un à six sur chaque dé, ne devriez-vous pas avoir une probabilité égale de chaque résultat de trois à dix-huit en additionnant les résultats de trois dés ? Si 1 et 6 ont la même probabilité, 1+1+1 et 6+6+6 n'ont-ils pas la même probabilité ?

Answer 1

Non, ce n'est pas le cas

Vous pouvez utiliser AnyDice pour visualiser les jets de dés très facilement et voir ce qui se passe. Les liens afficheront un tableau avec les résultats pour chacun d'entre eux.

Voici 3d6 .

Voici 1d18 .

Voici les deux sur le même écran pour une comparaison facile.

Mis à part le problème évident de ne pas pouvoir obtenir 1 sur 3d6 parce que le minimum sur chaque dé est 1, les chiffres du milieu apparaîtront plus souvent parce qu'il y a plus de combinaisons qui les font apparaître.

Vous avez raison, 1+1+1 et 6+6+6 sont également communs, mais il y a 6^3 (216) permutations possibles de résultats en 3d6 et seulement un d'entre eux s'élève à 18. Un bon nombre d'entre eux donnent cependant 9 (6+1+2, 3+3+3, 4+2+3, etc.). En comparaison, sur 1d18, il existe 18 permutations et l'une d'entre elles donne 18. Tous les nombres ont la même probabilité. Ainsi, lancer 1d18 va être beaucoup plus "swinguant" (voir les hauts et les bas plus souvent) que 3d6. Cela a des implications si vous créez un système de jet de dés, en particulier si vous avez une sorte de succès critique ou d'échec aux extrêmes. Vous verrez un jet minimum sur 1d18 bien plus souvent que sur 3d6.

Voici un bon article expliquant les mathématiques qui se cachent derrière. Toutes les autres questions sont probablement mieux posées sur Mathématiques.SE. :)

Answer 2

Voyons si nous pouvons illustrer cela. Tout d'abord, rejetons l'idée que 3d6 et 1d18 sont potentiellement équivalents. Nous savons que cela ne peut pas être le cas puisque 3d6 ne peut pas obtenir moins de 3. Comparons donc à quelque chose de légèrement plus comparable. L'ensemble des résultats de 3d6 a les mêmes nombres que le jet de 1d16 + 2.

En lançant un 1d16+2, on obtient des nombres de 3 à 18 avec la même probabilité. La probabilité de lancer un 3 est la même que celle de lancer un 18. (1/16e). (la probabilité de lancer un seul chiffre sur un dé est de 1 sur le nombre de faces).

Maintenant. Quelle est la probabilité d'obtenir 3 1 sur 3d6 ? La première chose dont nous avons besoin est de connaître le nombre d'ensembles de résultats possibles en lançant 3 d6. C'est ce qu'on appelle le nombre de permutations. Pour l'obtenir, il faut multiplier le nombre de résultats de chaque dé.

 6*6*6 = 216

Nous utiliserons ce nombre comme diviseur lors du calcul des probabilités (tout comme nous utilisons 16 pour 1d16+2). Nous devons maintenant connaître le nombre total de permutations possibles, soit 3.

 3d6     1d16+2
 111     1 + 2

C'est ça. Cela nous donne une probabilité de 1/216 pour un résultat de 3. C'est très différent de 1d16+2. La probabilité de tous les 6 est la même (666).

Maintenant. Quelle est la probabilité du prochain résultat ? Un total de 4 ? Pour obtenir 4, il faut un 2 sur l'un des dés et un 1 sur les autres.

 3d6          1d16+2
 112          2 + 2
 121
 112

Cela nous donne 3 résultats possibles sur 216 possibilités. Donc 1/72 chance. Encore une fois contre 1/16 de chance pour 1d16+2. Ceci se reflète dans les chances d'obtenir un 17. (665, 656, 566)

Je vais en ajouter un. La somme de 5. les résultats possibles :

 3d6              1d16+2
 113              3 + 2 
 131
 311
 122
 212
 221

Nous voyons ici 6 résultats possibles. Cela signifie que les chances d'obtenir une somme de 5 sont à nouveau de 1/36 contre 1/16 pour le 1d16+2. Ceci est reflété par un résultat de 16.

En vous approchant du milieu, vous avez une multitude de possibilités. Examinons un résultat de 10 (juste en dessous de la moyenne de 10,5 pour les 3 résultats).

           3d6                 1d16+2
 136 226 316 415 514 613       8 + 2 
 145 235 325 424 523 622
 154 244 334 433 532 631
 163 253 343 442 541
     262 352 451
         361

C'est 18/216 = 1/12 par rapport à 1/16. (C'est la même chose pour le résultat de 11).

Le miroir des résultats, combiné à l'évolution des probabilités, illustre la courbe en cloche. Alors que la probabilité constante d'un seul dé est une simple ligne horizontale.

Answer 3

Oui, c'est vrai que chaque combinaison des lancers de dés sont également probables, mais la distribution est basée sur la somme . Et en cela, il existe de multiples combinaisons qui produiront la même somme :

1+1+1 = 3 <--- only one combination

1+1+2 = 4
1+2+1 = 4 <--- three combinations: 4 is 3x more likely than 3
2+1+1 = 4 

En revanche, en lançant 1d18, chaque chiffre ne peut apparaître qu'une seule fois. (Sans compter que vous ne pouvez pas obtenir un résultat de 1 ou 2 en lançant 3d6, donc vous biaise déjà la probabilité là).

Answer 4

J'ai entendu dire que, apparemment, lancer trois dés à six faces produit une distribution en forme de cloche, avec une pondération des résultats vers le milieu (ce qui serait 9).

Comme d'autres l'ont correctement expliqué, c'est parce qu'il n'y a qu'une seule façon d'obtenir 3 (1 + 1 + 1), mais plusieurs façons d'obtenir 9 (1 + 2 + 6, 1 + 3 + 5, ... ).

Cela suffit à répondre à votre question, mais il y a là un fait général très intéressant. Vous avez dit :

Si 1 et 6 sont également probables...

En fait, la somme se rapproche d'une courbe en forme de cloche même si 1 et 6 ne sont pas également probables Même avec des dés chargés, il suffit de lancer suffisamment de dés et éventuellement vous obtiendrez une courbe en forme de cloche. Plus précisément : si chaque jet de dé est indépendant et chacun d'entre eux a une valeur attendue y variance entonces quelle que soit la probabilité de lancer un nombre particulier la courbe de la somme devient de plus en plus en forme de cloche à mesure que l'on additionne les dés.

Ce fait étonnant s'appelle le théorème de la limite centrale ; vous pouvez en savoir plus à ce sujet ici :

http://en.wikipedia.org/wiki/Central_limit_theorem

Notez qu'il y a une section dans cette page qui traite spécifiquement du lancer de dés.

Answer 5

Non. Sans entrer dans les détails, voici les deux principales différences :

• En supposant qu'il n'y ait ni bonus ni pénalités, vous ne pouvez pas obtenir un 1 ou un 2 sur 3d6. Vous le pouvez avec 1d18.
• Il n'y a que 18 jets possibles sur 1d18, et tous ont la même probabilité. Il y a 216 jets possibles sur 3d6, et bien que leur somme soit comprise entre 3 et 18, ils ne sont pas répartis de manière égale, et tous les résultats ne sont donc pas également probables.

Vous mentionnez que 1+1+1 (3) et 6+6+6 (18) sont également probables, et vous avez raison sur ce point : ils sont en effet également probables, et il n'existe qu'une seule combinaison de chacun. Cependant, par exemple, il y a trois façons possibles d'obtenir un 4 : 1+1+2, 1+2+1 et 2+1+1. Un 4 a donc trois fois plus de chances de sortir qu'un 3 ou un 18 (et c'est pareil à l'autre bout, avec trois façons possibles d'obtenir un 17). Il y a six façons d'obtenir un 5 ou un 16, et encore plus à mesure que l'on se rapproche du milieu, les numéros 10 et 11 étant les plus susceptibles de sortir.

C'est pourquoi 3d6 n'est pas la même chose que 1d18.